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% Custom commands
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%TODO: Fix path
\newcommand{\res}{src/template/res}

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% CEL Template
%
%

\newcommand{\templates}{lib/cel-template}

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% % Change the way the overview is displayed
% \AtBeginSection[]
% {
%     \begin{frame}[t]
%         \frametitle{Overview}
%     \tableofcontents[sectionstyle=show/shaded,
%                      subsectionstyle=show/show/shaded,
%                      subsubsectionstyle=hide]
%     \end{frame}
% }
% \AtBeginSubsubsection[]{}
% \AtBeginSubsection[]{}

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% Set up document
%
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\title{Wahrscheinlichkeitstheorie Tutorium 1} %TODO: Change number
\subtitle{\small 08.05.2025} % TODO: Change date
\author{\vspace{1.5mm} Andreas Tsouchlos}
\date{ }

\institute{Karlsruhe Institute of Technology (KIT),
\\ Communications Engineering Lab (CEL) }

\tikzstyle{every node}=[font=\small]
\captionsetup[sub]{font=small}

%
%
% Document body
%
%

\begin{document}

\begin{frame}[plain]
    \maketitle
\end{frame}

% TODO: Replace slide content with relevant stuff
\begin{frame}
    \frametitle{Relevante Theorie I}

    \eqbox{
        \begin{gather*}
            f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\
            P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\
            E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx
        \end{gather*}
    }

    \begin{figure}
        \centering

        \begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth}
            \centering
            \begin{gather*}
                \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm}
                f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
                e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
            \end{gather*}
        \end{subfigure}%
        \begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}[
                        domain=-4:4,
                        samples=100,
                        width=\textwidth,
                        height=0.5\textwidth,
                        ticks=none,
                        xlabel={$x$},
                        ylabel={$f_X(x)$}
                    ]
                    \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)};
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
        \end{subfigure}
    \end{figure}
\end{frame}

% TODO: Replace slide content with relevant stuff
\begin{frame}
    \frametitle{2022H - Aufgabe 4}

    Für die Planung und Konstruktion von Windkraftanlagen ist eine
    statistische Modellierung der
    Windgeschwindigkeit essentiell. Die absolute Windgeschwindigkeit
    kann als Weibull-verteilte
    Zufallsvariable V mit den Parametern $\beta > 0$ und $\theta > 0$
    modelliert werden. Die zugehörige
    Verteilungsfunktion ist%
    %
    \begin{gather*}
        F_V(v) = 1 - exp\left( -\left( \frac{v}{\theta} \right)^\beta
        \right), \hspace{3mm} v \ge 0
    \end{gather*}
    %

    \begin{enumerate}
        \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_V(v)$
            der Weibullverteilung.
        \item Eine Windkraftanlage speist Strom in das Stromnetz ein,
            wenn die absolute Windgeschwindigkeit größer als $4
            m/s$, jedoch kleiner als $25 m/s$ ist. Berechnen Sie die
            Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Windkraftanlage Strom
            einspeist, wenn die Windgeschwindigkeit Weibull-verteilt
            mit $\beta = 2,0$ und $\theta = 6,0$ ist.
        \item Eine Zufallsvariable W genüge einer Weibullverteilung
            mit $\beta = 1$ und $\theta = 3$. Ermitteln Sie den
            Erwartungsvert $E(W)$.
        \item Warum ist die Weibullverteilung für die Modellierung
            der absoluten Windgeschwindigkeit besser geeignet als
            eine Normalverteilung?
    \end{enumerate}

\end{frame}

% TODO: Replace slide content with relevant stuff
\begin{frame}
    \frametitle{Relevante Theorie II}

    \eqbox{
        \begin{gather*}
            f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\
            P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\
            E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx
        \end{gather*}
    }

    \begin{figure}
        \centering

        \begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth}
            \centering
            \begin{gather*}
                \text{Normalverteilung:} \hspace{8mm}
                f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
                e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
            \end{gather*}
        \end{subfigure}%
        \begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth}
            \centering
            \begin{tikzpicture}
                \begin{axis}[
                        domain=-4:4,
                        samples=100,
                        width=\textwidth,
                        height=0.5\textwidth,
                        ticks=none,
                        xlabel={$x$},
                        ylabel={$f_X(x)$}
                    ]
                    \addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)};
                \end{axis}
            \end{tikzpicture}
        \end{subfigure}
    \end{figure}
\end{frame}

% TODO: Replace slide content with relevant stuff
\begin{frame}
    \frametitle{2022H - Aufgabe 4}

    Für die Planung und Konstruktion von Windkraftanlagen ist eine
    statistische Modellierung der
    Windgeschwindigkeit essentiell. Die absolute Windgeschwindigkeit
    kann als Weibull-verteilte
    Zufallsvariable V mit den Parametern $\beta > 0$ und $\theta > 0$
    modelliert werden. Die zugehörige
    Verteilungsfunktion ist%
    %
    \begin{gather*}
        F_V(v) = 1 - exp\left( -\left( \frac{v}{\theta} \right)^\beta
        \right), \hspace{3mm} v \ge 0
    \end{gather*}
    %

    \begin{enumerate}
        \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_V(v)$
            der Weibullverteilung.
        \item Eine Windkraftanlage speist Strom in das Stromnetz ein,
            wenn die absolute Windgeschwindigkeit größer als $4
            m/s$, jedoch kleiner als $25 m/s$ ist. Berechnen Sie die
            Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Windkraftanlage Strom
            einspeist, wenn die Windgeschwindigkeit Weibull-verteilt
            mit $\beta = 2,0$ und $\theta = 6,0$ ist.
        \item Eine Zufallsvariable W genüge einer Weibullverteilung
            mit $\beta = 1$ und $\theta = 3$. Ermitteln Sie den
            Erwartungsvert $E(W)$.
        \item Warum ist die Weibullverteilung für die Modellierung
            der absoluten Windgeschwindigkeit besser geeignet als
            eine Normalverteilung?
    \end{enumerate}
\end{frame}

\end{document}

