Compare commits
No commits in common. "main" and "tut3-v1.3" have entirely different histories.
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\subsection{Theorie Wiederholung}
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\subsection{Theorie Wiederholung}
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\begin{frame}
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\begin{frame}
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\frametitle{Stetige Zufallsvariablen I}
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\frametitle{sasdf}
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\vspace*{-10mm}
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\begin{lightgrayhighlightbox}
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Erinnerung: Diskrete Zufallsvariablen
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\begin{align*}
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\text{\normalfont Verteilung: }& P_X(x) = P(X = x) \\
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\text{\normalfont Verteilungsfunktion: }& F_X(x) = P(X \le x) =
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\sum_{n: x_n \le y} P_X(x)
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\end{align*}
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\vspace{-10mm}
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\end{lightgrayhighlightbox}
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\begin{columns}[t]
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\pause\column{\kitthreecolumns}
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\centering
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\begin{itemize}
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\item Verteilungsfunktion $F_X(x)$ einer stetiger ZV
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\begin{gather*}
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F_X(x) = P(X \le x)
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\end{gather*}
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\end{itemize}
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\pause\column{\kitthreecolumns}
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\centering
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\begin{itemize}
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\item Wahrscheinlichkeitsdichte $f_X(x)$ einer stetiger ZV
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\begin{gather*}
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F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(u) du
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\end{gather*}
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\end{itemize}
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\end{columns}
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\begin{columns}[t]
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\pause \column{\kitthreecolumns}
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\centering
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\begin{gather*}
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\text{Eigenschaften:} \\[3mm]
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\lim_{x\rightarrow -\infty} F_X(x) = 0 \\
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\lim_{x\rightarrow +\infty} F_X(x) = 1 \\
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x_1 \le x_2 \Rightarrow F_X(x_1) \le F_X(x_2)\\
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F_X(x+) = \lim_{h\rightarrow 0^+} F_X (x+h) = F_X(x)
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\end{gather*}
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\pause \column{\kitthreecolumns}
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\centering
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\begin{gather*}
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\text{Eigenschaften:} \\[3mm]
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f_X(x) \ge 0 \\
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||||||
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1
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\end{gather*}
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\end{columns}
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\end{frame}
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\begin{frame}
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\frametitle{Stetige Zufallsvariablen II}
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\begin{minipage}{0.6\textwidth}
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\begin{itemize}
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\item Wichtige Kenngrößen
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\begin{align*}
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\begin{array}{rlr}
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\text{Erwartungswert: } \hspace{5mm} & E(X) =
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\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx
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& \hspace{5mm} \big( = \mu \big) \\[3mm]
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||||||
\text{Varianz: } \hspace{5mm} & V(X) = E\mleft(
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\mleft( X - E(X) \mright)^2 \mright) \\[3mm]
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\text{Standardabweichung: } \hspace{5mm} &
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\sqrt{V(X)} & \hspace{5mm} \big( = \sigma \big)
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\end{array}
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\end{align*}
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||||||
\end{itemize}
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||||||
\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.38\textwidth}
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\begin{lightgrayhighlightbox}
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||||||
Erinnerung
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\begin{align*}
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||||||
\text{\normalfont Erwartungswert: }& E(X) =
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\sum_{n=1}^{\infty} x_n P_X(x) \\
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||||||
\text{\normalfont Varianz: }& V(X) = E\mleft( \mleft(
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||||||
X - E(X) \mright)^2 \mright)
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||||||
\end{align*}
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\end{lightgrayhighlightbox}
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\end{minipage}
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\end{frame}
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\begin{frame}
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\frametitle{Zusammenfassung}
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\begin{columns}[c]
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\column{\kitthreecolumns}
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\centering
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\begin{greenblock}{Verteilungsfunktion (kontinuierlich)}
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\vspace*{-6mm}
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\begin{gather*}
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F_X(x) = P(X \le x)\\[4mm]
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P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a) \\[8mm]
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\lim_{x\rightarrow -\infty} F_X(x) = 0 \\
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||||||
\lim_{x\rightarrow +\infty} F_X(x) = 1 \\
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||||||
x_1 \le x_2 \Rightarrow F_X(x_1) \le F_X(x_2)\\
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||||||
F_X(x+) = \lim_{h\rightarrow 0^+} F_X (x+h) = F_X(x)
|
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||||||
\end{gather*}
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\end{greenblock}
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\column{\kitthreecolumns}
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\centering
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\begin{greenblock}{Wahrscheinlichkeitsdichte \phantom{()}}
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\vspace*{-6mm}
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\begin{gather*}
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||||||
F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(u) du \\[5mm]
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||||||
f_X(x) \ge 0 \\
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||||||
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1
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||||||
\end{gather*}
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\end{greenblock}
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\end{columns}
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\end{frame}
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\end{frame}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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@ -331,6 +220,7 @@
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\begin{gather*}
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\begin{gather*}
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||||||
x_1 \le x_2 \Rightarrow F_X(x_1) \le F_X(x_2) \\
|
x_1 \le x_2 \Rightarrow F_X(x_1) \le F_X(x_2) \\
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||||||
F_X(x+) = \lim_{h\rightarrow 0^+} F_X (x+h) = F_X(x)
|
F_X(x+) = \lim_{h\rightarrow 0^+} F_X (x+h) = F_X(x)
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||||||
|
\hspace{5mm}\forall x\in \mathbb{R}
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||||||
\end{gather*}
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\end{gather*}
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||||||
\column{\kitonecolumn}
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\column{\kitonecolumn}
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||||||
\end{columns}
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\end{columns}
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||||||
@ -377,7 +267,7 @@
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|||||||
= P(1 < X \le 2) = F_X(2) - F_X(1) = e^{-a} - e^{-4a}
|
= P(1 < X \le 2) = F_X(2) - F_X(1) = e^{-a} - e^{-4a}
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||||||
\end{gather*}
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\end{gather*}
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||||||
\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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% tex-fmt: on
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% tex-fmt: off
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\end{frame}
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\end{frame}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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@ -387,193 +277,7 @@
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\subsection{Theorie Wiederholung}
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\subsection{Theorie Wiederholung}
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\begin{frame}
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\begin{frame}
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\frametitle{Die Normalverteilung}
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\frametitle{sasdf}
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\begin{columns}
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\column{\kitthreecolumns}
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\centering
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\begin{gather*}
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X \sim \mathcal{N}\mleft( \mu, \sigma^2 \mright)
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\end{gather*}%
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\vspace{0mm}
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\begin{align*}
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||||||
f_X(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left(\frac{(x -
|
|
||||||
\mu)^2}{2 \sigma^2} \right) \\[2mm]
|
|
||||||
F_X(x) &=
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||||||
\vcenter{\hbox{\scalebox{1.5}[2.6]{\vspace*{3mm}$\displaystyle\int$}}}_{\hspace{-0.5em}-\infty}^{\,x}
|
|
||||||
\frac{1}{\sqrt{2\pi
|
|
||||||
\sigma^2}} \exp\left(\frac{(u - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) du
|
|
||||||
\end{align*}
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||||||
\column{\kitthreecolumns}
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||||||
\centering
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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domain=-4:4,
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xmin=-4,xmax=4,
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||||||
width=15cm,
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||||||
height=5cm,
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||||||
samples=200,
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||||||
xlabel={$x$},
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ylabel={$f_X(x)$},
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||||||
xtick={0},
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||||||
xticklabels={\textcolor{KITblue}{$\mu$}},
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|
||||||
ytick={0},
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||||||
]
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||||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
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||||||
{(1 / sqrt(2*pi)) * exp(-x*x)};
|
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||||||
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||||||
\addplot+ [KITblue, mark=none, line width=1pt]
|
|
||||||
coordinates {(-0.5, 0.15) (0.5, 0.15)};
|
|
||||||
\addplot+ [KITblue, mark=none, line width=1pt]
|
|
||||||
coordinates {(-0.5, 0.12) (-0.5, 0.18)};
|
|
||||||
\addplot+ [KITblue, mark=none, line width=1pt]
|
|
||||||
coordinates {(0.5, 0.12) (0.5, 0.18)};
|
|
||||||
\node[KITblue] at (axis cs: 0, 0.2) {$\sigma$};
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|
||||||
|
|
||||||
% \addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt]
|
|
||||||
% coordinates {(4.8, -1) (4.8, 2)};
|
|
||||||
% \addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt]
|
|
||||||
% coordinates {(5.2, -1) (5.2, 2)};
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||||||
% \node at (axis cs: 4.8, 3) {$S(1-\delta)$};
|
|
||||||
% \node at (axis cs: 5.2, 3) {$S(1+\delta)$};
|
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||||||
\end{axis}
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||||||
\end{tikzpicture}
|
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||||||
\end{figure}
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||||||
\begin{figure}[H]
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||||||
\centering
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||||||
\begin{tikzpicture}
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||||||
\begin{axis}[
|
|
||||||
domain=-4:4,
|
|
||||||
xmin=-4,xmax=4,
|
|
||||||
width=15cm,
|
|
||||||
height=5cm,
|
|
||||||
samples=200,
|
|
||||||
xlabel={$x$},
|
|
||||||
ylabel={$F_X(x)$},
|
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||||||
xtick=\empty,
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||||||
ytick={0, 1},
|
|
||||||
]
|
|
||||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
|
||||||
{1 / (1 + exp(-(1.526*x*(1 + 0.1034*x))))};
|
|
||||||
\end{axis}
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||||||
\end{tikzpicture}
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||||||
\end{figure}
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||||||
\end{columns}
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||||||
\end{frame}
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||||||
% TODO: Are Z/z notation used in the lecture?
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\begin{frame}
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\frametitle{Rechnen mithilfe der Standardnormalverteilung}
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\vspace*{-15mm}
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\begin{itemize}
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\item Die Standardnormalverteilung
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\end{itemize}
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||||||
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
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||||||
\centering
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||||||
\begin{gather*}
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||||||
Z \sim \mathcal{N} (0,1) \\[4mm]
|
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||||||
\Phi(z) := F_Z(z) = P(Z \le z) \\
|
|
||||||
\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)
|
|
||||||
\end{gather*}
|
|
||||||
\end{minipage}%
|
|
||||||
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
|
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||||||
\centering
|
|
||||||
\begin{tabular}{|c|c||c|c||c|c|}
|
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||||||
\hline
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||||||
$z$ & $\Phi(z)$ & $z$ & $\Phi(z)$ & $z$ & $\Phi(z)$ \\
|
|
||||||
\hline
|
|
||||||
\hline
|
|
||||||
0{,}00 & 0{,}500000 & 0{,}10 & 0{,}539828 & 0{,}20 & 0{,}579260 \\
|
|
||||||
0{,}02 & 0{,}507978 & 0{,}12 & 0{,}547758 & 0{,}22 & 0{,}587064 \\
|
|
||||||
0{,}04 & 0{,}515953 & 0{,}14 & 0{,}555670 & 0{,}24 & 0{,}594835 \\
|
|
||||||
0{,}06 & 0{,}523922 & 0{,}16 & 0{,}563559 & 0{,}26 & 0{,}602568 \\
|
|
||||||
0{,}08 & 0{,}531881 & 0{,}18 & 0{,}571424 & 0{,}28 & 0{,}610261 \\
|
|
||||||
\hline
|
|
||||||
\end{tabular}\\
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||||||
\end{minipage}
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||||||
\pause
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\begin{itemize}
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\item Standardisierte ZV
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\begin{gather*}
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\begin{array}{cc}
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||||||
E(X) &= 0 \\
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||||||
V(X) &= 1
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\end{array}
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||||||
\hspace{45mm}
|
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||||||
\text{Standardisierung: } \hspace{5mm}
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||||||
\widetilde{X} = \frac{X - E(X)}{\sqrt{V(X)}}
|
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||||||
= \frac{X - \mu}{\sigma}
|
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||||||
\end{gather*}
|
|
||||||
\end{itemize}
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||||||
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||||||
\vspace*{5mm}
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||||||
\pause
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||||||
\begin{lightgrayhighlightbox}
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Rechenbeispiel
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\begin{gather*}
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||||||
X \sim \mathcal{N}(\mu = 1, \sigma^2 = 0{,}5^2) \\[2mm]
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||||||
P\left(X \le 1{,}12 \right)
|
|
||||||
= P\left(\frac{X - 1}{0{,}5} \le \frac{1{,}12 - 1}{0{,}5}\right)
|
|
||||||
= P\left(\frac{X - 1}{0{,}5} \le
|
|
||||||
0{,}24\right) = \Phi\left(0{,}24\right) = 0{,}594835
|
|
||||||
\end{gather*}
|
|
||||||
\end{lightgrayhighlightbox}
|
|
||||||
\end{frame}
|
|
||||||
|
|
||||||
% TODO: Are Z/z notation used in the lecture?
|
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||||||
\begin{frame}
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||||||
\frametitle{Zusammenfassung}
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||||||
|
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||||||
\vspace*{-15mm}
|
|
||||||
|
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||||||
\begin{columns}[t]
|
|
||||||
\column{\kitthreecolumns}
|
|
||||||
\centering
|
|
||||||
\begin{greenblock}{Standardnormalverteilung}
|
|
||||||
\vspace*{-10mm}
|
|
||||||
\begin{gather*}
|
|
||||||
Z \sim \mathcal{N} (0,1) \\[4mm]
|
|
||||||
\Phi(z) := F_Z(z) = P(Z \le z) \\
|
|
||||||
\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)
|
|
||||||
\end{gather*}
|
|
||||||
\end{greenblock}
|
|
||||||
\column{\kitthreecolumns}
|
|
||||||
\centering
|
|
||||||
\begin{greenblock}{Standardisierung}
|
|
||||||
\vspace*{-10mm}
|
|
||||||
\begin{gather*}
|
|
||||||
\widetilde{X} = \frac{X - E(X)}{\sqrt{V(X)}}
|
|
||||||
= \frac{X - \mu}{\sigma}
|
|
||||||
\end{gather*}
|
|
||||||
\end{greenblock}
|
|
||||||
\end{columns}
|
|
||||||
|
|
||||||
\vspace{5mm}
|
|
||||||
|
|
||||||
\begin{table}
|
|
||||||
\centering
|
|
||||||
% \cdots
|
|
||||||
\begin{tabular}{|c|c||c|c||c|c||c|c|}
|
|
||||||
\hline
|
|
||||||
$z$ & $\Phi(z)$ & $z$ & $\Phi(z)$ & $z$ & $\Phi(z)$ & $z$ & $\Phi(z)$ \\
|
|
||||||
\hline
|
|
||||||
\hline
|
|
||||||
1{,}40 & 0{,}919243 & 2{,}80 & 0{,}997445 & 3{,}00 & 0{,}998650 & 4{,}20 & 0{,}999987 \\
|
|
||||||
1{,}42 & 0{,}922196 & 2{,}82 & 0{,}997599 & 3{,}02 & 0{,}998736 & 4{,}22 & 0{,}999988 \\
|
|
||||||
1{,}44 & 0{,}925066 & 2{,}84 & 0{,}997744 & 3{,}04 & 0{,}998817 & 4{,}24 & 0{,}999989 \\
|
|
||||||
1{,}46 & 0{,}927855 & 2{,}86 & 0{,}997882 & 3{,}06 & 0{,}998893 & 4{,}26 & 0{,}999990 \\
|
|
||||||
1{,}48 & 0{,}930563 & 2{,}88 & 0{,}998012 & 3{,}08 & 0{,}998965 & 4{,}28 & 0{,}999991 \\
|
|
||||||
\hline
|
|
||||||
\end{tabular}
|
|
||||||
% \cdots
|
|
||||||
\end{table}
|
|
||||||
\end{frame}
|
\end{frame}
|
||||||
|
|
||||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||||
@ -625,7 +329,7 @@
|
|||||||
\column{\kitthreecolumns}
|
\column{\kitthreecolumns}
|
||||||
\centering
|
\centering
|
||||||
\pause \begin{gather*}
|
\pause \begin{gather*}
|
||||||
X \sim \mathcal{N} \mleft( \mu = 0{,}5, \sigma^2 = 0{,}07^2 \mright)
|
X \sim \mathcal{N} \mleft( \mu = 0{,}5, \sigma = 0{,}07^2 \mright)
|
||||||
\end{gather*}
|
\end{gather*}
|
||||||
\begin{align*}
|
\begin{align*}
|
||||||
P(E_\text{a}) &= P \Big( \big( X < S(1-\delta) \big)
|
P(E_\text{a}) &= P \Big( \big( X < S(1-\delta) \big)
|
||||||
@ -633,8 +337,8 @@
|
|||||||
&= P(X < S(1 - \delta)) + P(X > S(1 + \delta)) \\[2mm]
|
&= P(X < S(1 - \delta)) + P(X > S(1 + \delta)) \\[2mm]
|
||||||
&= P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
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&= P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
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+ P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
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+ P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
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&\approx \Phi(-2{,}86) + \left(1 - \Phi(2{,}86)\right) \\
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&\approx \Phi(-2.86) + \left(1 - \Phi(2.86)\right) \\
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&= 2 - 2\Phi(2{,}86) \approx 0{,}424\text{\%}
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&= 2 - 2\Phi(2.86) \approx 0{,}424\text{\%}
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\end{align*}
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\end{align*}
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\column{\kitthreecolumns}
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\column{\kitthreecolumns}
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\centering
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\centering
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@ -655,8 +359,8 @@
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\addplot+[mark=none, line width=1pt]
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\addplot+[mark=none, line width=1pt]
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{1 / sqrt(2*3.1415*0.07*0.07) * exp(-(x - 5)*(x-5)/(2*0.07*0.07))};
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{1 / sqrt(2*3.1415*0.07*0.07) * exp(-(x - 5)*(x-5)/(2*0.07*0.07))};
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\addplot +[KITblue, mark=none, line width=1pt] coordinates {(4.8, -1) (4.8, 2)};
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\addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt] coordinates {(4.8, -1) (4.8, 2)};
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\addplot +[KITblue, mark=none, line width=1pt] coordinates {(5.2, -1) (5.2, 2)};
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\addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt] coordinates {(5.2, -1) (5.2, 2)};
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\node at (axis cs: 4.8, 3) {$S(1-\delta)$};
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\node at (axis cs: 4.8, 3) {$S(1-\delta)$};
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\node at (axis cs: 5.2, 3) {$S(1+\delta)$};
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\node at (axis cs: 5.2, 3) {$S(1+\delta)$};
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@ -680,7 +384,7 @@
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dass nur noch halb so viele Ladegeräte wie in a) aussortiert
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dass nur noch halb so viele Ladegeräte wie in a) aussortiert
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werden. Auf welchen Wert müsste er dazu $\sigma$ senken?
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werden. Auf welchen Wert müsste er dazu $\sigma$ senken?
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\pause\begin{gather*}
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\pause\begin{gather*}
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P(E_\text{b}) = \frac{1}{2} P(E_\text{a}) \approx 0{,}212\text{\%} \\
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P(E_\text{b}) = \frac{1}{2} P(E_\text{a}) \approx 0.212\text{\%} \\
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\end{gather*}
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\end{gather*}
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\vspace*{-18mm}
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\vspace*{-18mm}
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\begin{columns}
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\begin{columns}
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@ -698,10 +402,10 @@
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\pause\column{\kitthreecolumns}
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\pause\column{\kitthreecolumns}
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\centering
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\centering
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\begin{gather*}
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\begin{gather*}
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2 - 2\Phi\left(\frac{0{,}2}{\sigma'}\right) = 2{,}12\cdot 10^{-3} \\[2mm]
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2 - 2\Phi\left(\frac{0.2}{\sigma'}\right) = 2{,}12\cdot 10^{-3} \\
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\Rightarrow \Phi\left(\frac{0{,}2}{\sigma'}\right) \approx 0{,}9989 \\[2mm]
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\Rightarrow \Phi\left(\frac{0.2}{\sigma'}\right) \approx 0.9989 \\
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\Rightarrow \sigma' \approx \frac{0{,}2}{\Phi^{-1}(0{,}9989)}
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\Rightarrow \sigma' \approx \frac{0{,}2}{\Phi^{-1}(0{,}9989)}
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\approx \frac{0{,}2}{3{,}08} \approx 0{,}65
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\approx \frac{0{,}2}{3{,}08} \approx 0.65
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\end{gather*}
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\end{gather*}
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\end{columns}
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\end{columns}
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\pause \vspace*{-5mm}\item Durch einen Produktionsfehler verschiebt sich der
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\pause \vspace*{-5mm}\item Durch einen Produktionsfehler verschiebt sich der
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@ -711,7 +415,7 @@
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P(E_\text{c}) &\overset{\text{a)}}{=} P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
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P(E_\text{c}) &\overset{\text{a)}}{=} P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
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+ P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
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+ P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
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&\approx \Phi(-4{,}29) + (1 - \Phi(1{,}43)) \\
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&\approx \Phi(-4{,}29) + (1 - \Phi(1{,}43)) \\
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& = 2 - \Phi(4{,}29) - \Phi(1{,}43) \approx 7{,}78 \text{\%}
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& = 2 - \Phi(4{,}29) - \Phi(1{,}43) \approx 7.78 \text{\%}
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\end{align*}
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\end{align*}
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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% tex-fmt: on
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% tex-fmt: on
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