Compare commits
No commits in common. "main" and "tut2-v1.2" have entirely different histories.
@ -137,7 +137,7 @@
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\Omega &= \mleft\{(i,j): i,j \in \mleft\{
|
||||
1,\ldots, 6 \mright\}\mright\} \\
|
||||
A &= \mleft\{ (1,1),(1,2), \ldots, (6,6) \mright\}
|
||||
A &= \mleft\{ (1,1),(2,2), \ldots, (6,6) \mright\}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\vspace*{-12mm}
|
||||
\end{lightgrayhighlightbox}
|
||||
@ -275,17 +275,17 @@
|
||||
\item mindestens ein Ass hat?\pause
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
P(\text{mindestens ein Ass}) = 1 - P(\text{kein Ass})
|
||||
= 1 - \frac{\binom{4}{0}\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}} \approx 0{,}341
|
||||
= 1 - \frac{\binom{4}{0}\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}} \approx 0.341
|
||||
\end{gather*}\pause\vspace*{-5mm}
|
||||
\item genau ein Ass hat?\pause
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
P(\text{genau ein Ass}) = \frac{\binom{4}{1}\binom{48}{4}}{\binom{52}{5}} \approx 0{,}299
|
||||
P(\text{genau ein Ass}) = \frac{\binom{4}{1}\binom{48}{4}}{\binom{52}{5}} \approx 0.299
|
||||
\end{gather*}\pause
|
||||
\item mindestens zwei Karten der gleichen Art (“Paar”) hat?\pause
|
||||
\begin{align*}
|
||||
P(\text{mindestens zwei gleiche Karten}) &= 1 - P(\text{alle Karten unterschiedlich}) \\
|
||||
&= 1 - \frac{\text{Anzahl Möglichkeiten mit nur unterschiedlichen Karten}}{\text{Anzahl Möglichkeiten}}\\
|
||||
&= 1 - \frac{\binom{13}{5}\cdot 4^5}{\binom{52}{5}} \approx 0{,}493
|
||||
&= 1 - \frac{\binom{13}{5}\cdot 4^5}{\binom{52}{5}} \approx 0.493
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
@ -372,7 +372,7 @@
|
||||
\begin{lightgrayhighlightbox}
|
||||
Beispiel:
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
\Omega = \{A, B, C\}\\
|
||||
\Omega = {A, B, C}\\
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||||
\Pi_N = \{ (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C),\\
|
||||
(B,C,A), (C,A,B), (C,B,A)\}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
|
||||
@ -269,9 +269,9 @@
|
||||
ausgewähltes Minion klein, mittelgroß
|
||||
oder groß ist.
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||||
\pause\begin{align*}
|
||||
P(K) &= P(K\vert N_1)P(N_1) + P(K\vert N_2)P(N_2) = 0{,}35\cdot 0{,}2 + 0{,}1\cdot 0{,}8 = 0{,}15\\
|
||||
P(M) &= P(M\vert N_1)P(N_1) + P(M\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0{,}68\\
|
||||
P(G) &= P(G\vert N_1)P(N_1) + P(G\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0{,}17
|
||||
P(K) &= P(K\vert N_1)P(N_1) + P(K\vert N_2)P(N_2) = 0.35\cdot 0.2 + 0.1\cdot 0.8 = 0.15\\
|
||||
P(M) &= P(M\vert N_1)P(N_1) + P(M\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0.68\\
|
||||
P(G) &= P(G\vert N_1)P(N_1) + P(G\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0.17
|
||||
\end{align*}
|
||||
\item \pause Ein zufällig ausgewähltes Minion ist nicht klein. Mit
|
||||
welcher Wahrscheinlichkeit ist es
|
||||
@ -280,7 +280,7 @@
|
||||
P(N_1 \vert \overline{K})
|
||||
= \frac{P(\overline{K} \vert N_1)P(N_1)}{P(\overline{K})}
|
||||
= \frac{\left[ 1 - P(K\vert N_1) \right] P(N_1)}{1 - P(K)}
|
||||
= \frac{(1 - 0{,}35)\cdot 0{,}2}{1 - 0{,}15} \approx 0{,}153
|
||||
= \frac{(1 - 0.35)\cdot 0.2}{1 - 0.15} \approx 0.153
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
@ -364,9 +364,9 @@
|
||||
beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
|
||||
sind bekannt:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
|
||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ hat ein Werkstück beide Fehler
|
||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}03$ hat ein Werkstück nur den
|
||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
|
||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
|
||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
|
||||
Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
@ -381,9 +381,9 @@
|
||||
|
||||
Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
|
||||
beobachtet. Der Fehler tritt
|
||||
mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
|
||||
mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
|
||||
eingetreten sind und mit der
|
||||
Wahrscheinlichkeit $0{,}02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
|
||||
Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
|
||||
sind. In allen anderen
|
||||
Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
|
||||
|
||||
@ -408,9 +408,9 @@
|
||||
beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten
|
||||
sind bekannt:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
|
||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ hat ein Werkstück beide Fehler
|
||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0{,}03$ hat ein Werkstück nur den
|
||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$
|
||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler
|
||||
\item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den
|
||||
Fehler $B$ und nicht Fehler $A$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
@ -420,16 +420,16 @@
|
||||
Fehler $B$ und dafür, dass ein
|
||||
Werkstück fehlerfrei ist.
|
||||
\pause\begin{gather*}
|
||||
P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0{,}01 + 0{,}03 = 0{,}04
|
||||
P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0.01 + 0.03 = 0.04
|
||||
\end{gather*}\pause
|
||||
\vspace*{-15mm}\begin{gather*}
|
||||
P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0{,}05 + 0{,}04 - 0{,}01\right) = 0{,}92
|
||||
P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0.05 + 0.04 - 0.01\right) = 0.92
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$?
|
||||
\pause\begin{gather*}
|
||||
\left. \begin{array}{l}
|
||||
P(AB) = 0{,}01 \\
|
||||
P(A)P(B) = 0{,}05\cdot 0{,}04 = 0{,}002
|
||||
P(AB) = 0.01 \\
|
||||
P(A)P(B) = 0.05\cdot 0.04 = 0.002
|
||||
\end{array}\right\}
|
||||
\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
@ -444,9 +444,9 @@
|
||||
|
||||
Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$
|
||||
beobachtet. Der Fehler tritt
|
||||
mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
|
||||
mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$
|
||||
eingetreten sind und mit der
|
||||
Wahrscheinlichkeit $0{,}02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
|
||||
Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten
|
||||
sind. In allen anderen
|
||||
Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf.
|
||||
|
||||
@ -459,7 +459,7 @@
|
||||
P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})
|
||||
+ \overbrace{P(C\vert \overline{A}B)}^{0}P(\overline{A} B)
|
||||
+ P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\
|
||||
&= 0{,}02\cdot 0{,}01 + 0{,}01\cdot 0{,}92 = 0{,}0094
|
||||
&= 0.02\cdot 0.01 + 0.01\cdot 0.92 = 0.0094
|
||||
\end{align*}
|
||||
\vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit
|
||||
welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$?
|
||||
@ -469,8 +469,8 @@
|
||||
P(A\vert C) &= \frac{P(AC)}{P(C)}\\[5mm]
|
||||
P(AC) &= P(ACB) + P(AC \overline{B})\\
|
||||
&= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})\\
|
||||
&= 0{,}02\cdot 0{,}01 = 0{,}0002\\[5mm]
|
||||
P(A\vert C) &= \frac{0{,}0002}{0{,}0094} \approx 0{,}0213
|
||||
&= 0.02\cdot 0.01 = 0.0002\\[5mm]
|
||||
P(A\vert C) &= \frac{0.0002}{0.0094} \approx 0.0213
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}%
|
||||
\hspace*{-10mm}
|
||||
@ -486,8 +486,8 @@
|
||||
P(A\vert C) &= \frac{P(C\vert A)P(A)}{P(C)}\\[5mm]
|
||||
P(C\vert A) &= P(C\vert AB)P(B\vert A)
|
||||
+ \overbrace{P(C\vert \overline{A} B)}^{0}P(\overline{A}B) \\
|
||||
&= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0{,}02 \cdot \frac{0{,}01}{0{,}05} = 0{,}004\\[5mm]
|
||||
P(A\vert C) &= \frac{0{,}004\cdot 0{,}05}{0{,}0094} \approx 0{,}0213
|
||||
&= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0.02 \cdot \frac{0.01}{0.05} = 0.004\\[5mm]
|
||||
P(A\vert C) &= \frac{0.004\cdot 0.05}{0.0094} \approx 0.0213
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
@ -1,928 +0,0 @@
|
||||
\ifdefined\ishandout
|
||||
\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
|
||||
\else
|
||||
\documentclass[de]{CELbeamer}
|
||||
\fi
|
||||
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
% CEL Template
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
|
||||
\newcommand{\templates}{preambles}
|
||||
\input{\templates/packages.tex}
|
||||
\input{\templates/macros.tex}
|
||||
|
||||
\grouplogo{CEL_logo.pdf}
|
||||
|
||||
\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
|
||||
\groupnamewidth{80mm}
|
||||
|
||||
\fundinglogos{}
|
||||
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
% Custom commands
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
|
||||
\input{lib/latex-common/common.tex}
|
||||
\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
|
||||
|
||||
\newcommand{\res}{src/2025-12-05/res}
|
||||
|
||||
% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
|
||||
% \captionsetup[sub]{font=small}
|
||||
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
% Document setup
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
\usepackage{tikz-3dplot}
|
||||
\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
|
||||
%\tikzexternalize[prefix=build/]
|
||||
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\pgfplotsset{compat=newest}
|
||||
\usepgfplotslibrary{fillbetween}
|
||||
|
||||
\usepackage{enumerate}
|
||||
\usepackage{listings}
|
||||
\usepackage{subcaption}
|
||||
\usepackage{bbm}
|
||||
\usepackage{multirow}
|
||||
|
||||
\usepackage{xcolor}
|
||||
|
||||
\title{WT Tutorium 3}
|
||||
\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
|
||||
\date[]{5. Dezember 2025}
|
||||
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
% Document body
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
|
||||
\titlepage
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\section{Aufgabe 1}
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\subsection{Theorie Wiederholung}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Zufallsvariablen \& Verteilungen}
|
||||
|
||||
\vspace*{-10mm}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Zufallsvariablen (ZV)
|
||||
\begin{minipage}{0.33\textwidth}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
\text{Idee: ``Wegabstrahieren'' von Ergebnisraum
|
||||
$\Omega$} \\[1cm]
|
||||
X: \Omega \mapsto \mathbb{R} \\
|
||||
\underbrace{P_X(x)}_\text{Verteilung} :=
|
||||
P(\underbrace{X}_\text{ZV}=\underbrace{x}_\text{Realisierung})
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\end{minipage}%
|
||||
\hspace*{15mm}%
|
||||
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{lightgrayhighlightbox}
|
||||
Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
X := \text{\normalfont``Summe beider Augenzahlen''}\\
|
||||
X: \underbrace{\left\{(i, j) : i, j \in \left\{1, \ldots
|
||||
, 6\right\}\right\}}_{\Omega} \mapsto
|
||||
\underbrace{\left\{2,3,
|
||||
\ldots, 12\right\}}_{\in \mathbb{R}}
|
||||
\end{gather*}\\
|
||||
\vspace*{5mm}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\draw[line width=1pt] (0,0) -- (18cm,0);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\vspace*{2mm}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
A = \text{\normalfont``Die Summe der
|
||||
Augenzahlen ist 4''}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
|
||||
\centering
|
||||
Direkter Weg
|
||||
\begin{align*}
|
||||
P(A) &= P(\mleft\{ (1,3), (2,2),
|
||||
(3,1) \mright\}) \\
|
||||
&= P( (1,3)) + P( (2, 2)) + P( (3,1)) \\
|
||||
&= 3\cdot \frac{1}{36} = \frac{1}{12}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}%
|
||||
\begin{minipage}[t]{0.5\textwidth}
|
||||
\centering
|
||||
Über ZV
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
P(A) = P_X(4) = \cdots
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{lightgrayhighlightbox}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Verteilungen \& Verteilungsfunktionen}
|
||||
|
||||
\vspace*{-18mm}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Verteilungsfunktionen diskreter ZV
|
||||
\vspace*{-6mm}
|
||||
\begin{columns}
|
||||
\column{\kitthreecolumns}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\overbrace{F_X(x)}^\text{Verteilungsfunktion} = P(X \le x)
|
||||
&= \sum_{n:x_n \le x}
|
||||
\overbrace{P_X(x)}^\text{Verteilung}\\
|
||||
&= \sum_{n:x_n \le x} P(X=x)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\column{\kitthreecolumns}
|
||||
\begin{lightgrayhighlightbox}
|
||||
Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
X := \text{\normalfont``Summe beider Augenzahlen''}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\vspace*{-10mm}
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
xmin=2,xmax=12,
|
||||
ymin=-0.2,ymax=1.2,
|
||||
xlabel=$x$,
|
||||
ylabel=$F_X(x)$,
|
||||
width=12cm,
|
||||
height=5cm,
|
||||
]
|
||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
||||
coordinates
|
||||
{
|
||||
(2 , 0.02777)
|
||||
(3 , 0.02777)
|
||||
(3 , 0.08333)
|
||||
(4 , 0.08333)
|
||||
(4 , 0.16666)
|
||||
(5 , 0.16666)
|
||||
(5 , 0.27777)
|
||||
(6 , 0.27777)
|
||||
(6 , 0.41666)
|
||||
(7 , 0.41666)
|
||||
(7 , 0.58333)
|
||||
(8 , 0.58333)
|
||||
(8 , 0.72222)
|
||||
(9 , 0.72222)
|
||||
(9 , 0.83333)
|
||||
(10 , 0.83333)
|
||||
(10, 0.91666)
|
||||
(11, 0.91666)
|
||||
(11, 0.97222)
|
||||
(12, 0.97222)
|
||||
(12, 1.00000)
|
||||
};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\vspace*{-10mm}
|
||||
\end{lightgrayhighlightbox}
|
||||
\end{columns}
|
||||
\pause
|
||||
\item Kenngrößen von Verteilungen
|
||||
\vspace*{2mm}
|
||||
\begin{columns}[t]
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\centering
|
||||
\textbf{Erwartungswert}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n P(X=x_n)
|
||||
\end{gather*}%
|
||||
\vspace*{-8mm}%
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E(X + b) &= E(X) + b\\
|
||||
E(X+Y) &= E(X) + E(Y)\\
|
||||
E(aX) &= aE(X)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\centering
|
||||
\textbf{Varianz}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
V(X) = E\left(\left(X - E(X)\right)^2\right)
|
||||
\end{gather*}%
|
||||
\vspace*{-8mm}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
V(X) &= E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\
|
||||
V(aX) &= a^2 V(x)\\
|
||||
V(X+b) &= V(X)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\centering
|
||||
\textbf{$p$-Quantil}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
x_p = \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R} : P(X
|
||||
\le x) \ge p \mright\}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\vspace*{-8mm}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
p=0.5 \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} x_p
|
||||
\equiv \text{``Median''}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\end{columns}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Beispiele von Verteilungen}
|
||||
|
||||
\vspace*{-18mm}
|
||||
|
||||
\begin{columns}[t]
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\centering
|
||||
\textbf{Bernoulli Verteilung}\\
|
||||
\vspace*{10mm}
|
||||
$X$ kann nur die Werte $0$ oder $1$\\ annehmen
|
||||
\rule{0.9\textwidth}{0.4pt}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
X \sim \text{Bernoulli}(p)
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
P(X=0) = 1-p, \hspace{5mm} P(X=1) = p
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E(X) &= p\\
|
||||
V(X) &= p(1-p)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\centering
|
||||
\textbf{Binomialverteilung}\\
|
||||
\vspace*{10mm}
|
||||
$X\equiv$ ``Zählen der Treffer bei $N$ unabhängigen Versuchen''
|
||||
\rule{0.9\textwidth}{0.4pt}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
X \sim \text{Bin}(N,p)
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
P_X(k) = \binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E(X) &= Np\\
|
||||
V(X) &= Np(1-p)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\centering
|
||||
\textbf{Poisson Verteilung}\\
|
||||
\vspace*{10mm}
|
||||
Binomialverteilung für $N\rightarrow \infty$ mit
|
||||
$pN=\text{const.}=: \lambda$
|
||||
\rule{0.9\textwidth}{0.4pt}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
X \sim \text{Poisson}(\lambda)
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
P_X(k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E(X) &= \lambda\\
|
||||
V(X) &= \lambda
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{columns}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Zusammenfassung}
|
||||
|
||||
\begin{columns}[t]
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\begin{greenblock}{Verteilungsfunktion (diskret)}
|
||||
\vspace*{-6mm}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
F_X(x) = P(X \le x) = \sum_{n:x_n < x} P_X(x_n)
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\end{greenblock}
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\begin{greenblock}{Erwartungswert}
|
||||
\vspace*{-6mm}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n P(X=x_n)
|
||||
\end{gather*}%
|
||||
\vspace*{-8mm}%
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E(X + b) &= E(X) + b\\
|
||||
E(X+Y) &= E(X) + E(Y)\\
|
||||
E(aX) &= aE(X)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{greenblock}
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\begin{greenblock}{Binomialverteilung}
|
||||
\vspace*{-6mm}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
P_X(k) = \binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E(X) &= Np\\
|
||||
V(X) &= Np(1-p)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{greenblock}
|
||||
\end{columns}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\subsection{Aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}
|
||||
|
||||
\vspace*{-10mm}
|
||||
|
||||
Eine Polizistin führt $N = 6$ Radarkontrollen auf einer
|
||||
Landstraße durch. Die Radarkontrollen
|
||||
können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
|
||||
der Wahrscheinlichkeit
|
||||
$p = 0{,}2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
|
||||
\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
|
||||
Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\item Geben Sie den Ergebnisraum $\Omega$ der diskreten Zufallsvariablen $R$ an
|
||||
und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$.
|
||||
\item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$
|
||||
Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt?
|
||||
\item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der
|
||||
Zufallsvariablen $R$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
|
||||
\vspace*{5mm}
|
||||
|
||||
\textit{Die folgenden Teilaufgaben können unabhängig von den
|
||||
bisherigen Teilaufgaben bearbeitet werden.}
|
||||
|
||||
\vspace*{5mm}
|
||||
|
||||
Ein Autofahrer muss jeden Tag auf seinem Arbeitsweg über die
|
||||
Landstraße und über die
|
||||
Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der
|
||||
Autofahrer auf der Landstraße bzw.
|
||||
auf der Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt,
|
||||
liegt bei $p_\text{L} = 0{,}2$ bzw. bei
|
||||
$p_\text{A} = 0{,}3$.
|
||||
|
||||
\vspace*{5mm}
|
||||
|
||||
\textbf{Hinweis}: Es wird nur der einfache Weg (Hinweg) betrachtet.
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\setcounter{enumi}{3}
|
||||
\item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Autofahrer
|
||||
an einem Tag $0$, $1$ oder $2$ Strafzettel bekommt?
|
||||
\item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
|
||||
seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
|
||||
Autofahrer innerhalb eines Jahres?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}
|
||||
|
||||
\vspace*{-16mm}
|
||||
|
||||
Eine Polizistin führt $N = 6$ Radarkontrollen auf einer
|
||||
Landstraße durch. Die Radarkontrollen
|
||||
können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit
|
||||
der Wahrscheinlichkeit
|
||||
$p = 0{,}2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R :
|
||||
\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt die Anzahl der
|
||||
Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen.
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\item Geben Sie den Ergebnisraum $\Omega$ der diskreten Zufallsvariablen $R$ an
|
||||
und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$.
|
||||
\pause\begin{gather*}
|
||||
\Omega = \mleft\{ 0, 1\mright\}^6 \\
|
||||
R \sim \text{Bin}(N=6, p=0{,}2)\hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} E(R) = Np = 1{,}2
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\vspace*{-10mm}\pause \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$
|
||||
Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt?
|
||||
\pause \begin{gather*}
|
||||
P(R=3) = \binom{N}{3}p^3 (1-p)^{N-3} = \binom{6}{3} \cdot 0{,}2^3\cdot 0{,}8^3 \approx 0{,}0819
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\vspace*{-6mm}\pause \item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der
|
||||
Zufallsvariablen $R$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
|
||||
\vspace*{2mm}
|
||||
|
||||
\pause
|
||||
\begin{columns}
|
||||
\column{\kitthreecolumns}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
F_R(r) = \sum_{\widetilde{r} \le r}
|
||||
\binom{N}{\widetilde{r}}p^{\widetilde{r}} (1-p)^{N-\widetilde{r}}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\begin{table}
|
||||
\begin{tabular}{c|ccccccc}
|
||||
$r$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ \\ \hline
|
||||
$F_R(r)$ & $0{,}262$ & $0{,}655$ & $0{,}901$ &
|
||||
$0{,}983$ & $0{,}998$ & $0{,}999$ & $1$
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\end{table}
|
||||
\column{\kitthreecolumns}
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
xmin=0,xmax=6,
|
||||
ymin=-0.2,ymax=1.2,
|
||||
xlabel=$r$,
|
||||
ylabel=$F_R(r)$,
|
||||
width=12cm,
|
||||
height=5cm,
|
||||
]
|
||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
||||
coordinates
|
||||
{
|
||||
(0,0.262)
|
||||
(1,0.262)
|
||||
(1,0.655)
|
||||
(2,0.655)
|
||||
(2,0.901)
|
||||
(3,0.901)
|
||||
(3,0.983)
|
||||
(4,0.983)
|
||||
(4,0.998)
|
||||
(5,0.998)
|
||||
(5,0.999)
|
||||
(6,0.999)
|
||||
(6,1)
|
||||
};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{columns}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen}
|
||||
|
||||
\vspace*{-16mm}
|
||||
|
||||
Ein Autofahrer muss jeden Tag auf seinem Arbeitsweg über die
|
||||
Landstraße und über die Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit
|
||||
dafür, dass der Autofahrer auf der Landstraße bzw. auf der
|
||||
Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt, liegt
|
||||
bei $p_\text{L} = 0{,}2$ bzw. bei $p_\text{A} = 0{,}3$.
|
||||
|
||||
\vspace*{2mm}
|
||||
|
||||
\textbf{Hinweis}: Es wird nur der einfache Weg (Hinweg) betrachtet.
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\setcounter{enumi}{3}
|
||||
\item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Autofahrer
|
||||
an einem Tag $0$, $1$ oder $2$ Strafzettel bekommt?
|
||||
\pause\begin{gather*}
|
||||
R := A + L
|
||||
\end{gather*}%
|
||||
\vspace*{-14mm}%
|
||||
\begin{align*}
|
||||
P(R = 0) &= P(A = 0 \text{ und } L = 0) &&\hspace{-24mm}= (1-p_A)(1-p_L) &&\hspace{-24mm}= 0{,}56\\
|
||||
P(R = 1) &= P(A=1 \text{ und } L=0) + P(A=0 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= p_A \cdot (1-p_L) + (1-p_A)\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0{,}38 \\
|
||||
P(R = 2) &= P(A=1 \text{ und } L=1) &&\hspace{-24mm}= p_A\cdot p_L &&\hspace{-24mm}= 0{,}06
|
||||
\end{align*}
|
||||
\vspace*{-10mm}\pause \item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über
|
||||
seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der
|
||||
Autofahrer innerhalb eines Jahres?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
|
||||
\vspace*{-6mm}
|
||||
|
||||
\pause
|
||||
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &= \sum_{n=1}^{200}
|
||||
E\left(R_n\right) = \sum_{n=1}^{200} \left[1\cdot0{,}38 +
|
||||
2\cdot 0{,}06\right]\\[2mm]
|
||||
&= 200\cdot 0{,}5 = 100
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}%
|
||||
\begin{minipage}{0.06\textwidth}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,4cm);
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}%
|
||||
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{align*}
|
||||
E\left(\sum_{n=1}^{200} R_n\right) &=
|
||||
E\Big(\overbrace{\sum_{n=1}^{200} A_n}^{\sim
|
||||
\text{Bin}(N=200, p=0{,}3)} + \overbrace{\sum_{n=1}^{200}
|
||||
L_n}^{\sim \text{Bin}(N=200, p=0{,}2)}\Big)\\[2mm]
|
||||
&= E\left(\sum_{n=1}^{200} A_n\right) +
|
||||
E\left(\sum_{n=1}^{200} L_n\right) \\[2mm]
|
||||
&= 200\cdot 0{,}3 + 200 \cdot 0{,}2 = 100
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\section{Aufgabe 2}
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\subsection{Theorie Wiederholung}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Weitere Kenngrößen von Verteilungen}
|
||||
|
||||
\vspace*{-10mm}
|
||||
|
||||
\vspace*{10mm}
|
||||
\begin{columns}[t]
|
||||
\column{\kitthreecolumns}
|
||||
\centering
|
||||
\textbf{$k$-tes Moment}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
E(X^k) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n^k P(X=x_n)
|
||||
\end{gather*}%
|
||||
\column{\kitthreecolumns}
|
||||
\centering
|
||||
\textbf{$k$-tes zentrales Moment}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
E\left( \left(X - E(X)\right)^k \right) =
|
||||
\sum_{n=1}^{\infty} \left(x_n - E(X)\right)^k P(X=x_n)
|
||||
\end{gather*}%
|
||||
\end{columns}
|
||||
\vspace*{20mm}
|
||||
\pause
|
||||
\begin{columns}[t]
|
||||
\column{\kitthreecolumns}
|
||||
\centering
|
||||
\textbf{Charakteristische Funktion (diskret)}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
\phi_X(s) = E(e^{jsX}) = \sum_{n=1}^{\infty}
|
||||
e^{jsx_n} P(X=x_n)\\[5mm]
|
||||
E(X^k) = \frac{\phi_X^{(k)}(0)}{j^k}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\column{\kitthreecolumns}
|
||||
\centering
|
||||
\textbf{Erzeugende Funktion}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
\text{Voraussetzung:} \hspace{5mm} x \in \mathbb{N}_0\\[5mm]
|
||||
\psi(z) = E(z^x) = \sum_{n=1}^{\infty} z^n P(x=n)\\[5mm]
|
||||
P(X=n) = \frac{\psi_X^{(n)}(0)}{n!}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\end{columns}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Zusammenfassung}
|
||||
|
||||
\vspace*{-16mm}
|
||||
|
||||
\begin{columns}[t]
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\begin{greenblock}{Verteilungsfunktion (diskret)}
|
||||
\vspace*{-6mm}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
F_X(x) = P(X \le x) = \sum_{n:x_n < x} P_X(x_n)
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\end{greenblock}
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\begin{greenblock}{Varianz}
|
||||
\vspace*{-6mm}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
V(X) = E\left(\left(X - E(X)\right)^2\right)
|
||||
\end{gather*}%
|
||||
\vspace*{-8mm}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
V(X) &= E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\
|
||||
V(aX) &= a^2 V(x)\\
|
||||
V(X+b) &= V(X)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{greenblock}
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\begin{greenblock}{$p$-Quantil}
|
||||
\vspace*{-6mm}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
x_p = \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R} : P(X
|
||||
\le x) \ge p \mright\}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\vspace*{-8mm}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
p=0.5 \hspace{5mm} \rightarrow \hspace{5mm} x_p
|
||||
\equiv \text{``Median''}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\end{greenblock}
|
||||
\end{columns}
|
||||
\begin{columns}[t]
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\begin{greenblock}{$k$-tes Moment}
|
||||
\vspace*{-6mm}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
E(X^k) = \sum_{n=1}^{\infty} x_n^k P(X=x_n)
|
||||
\end{gather*}%
|
||||
\end{greenblock}
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\begin{greenblock}{Charakt. Funktion (diskret)}
|
||||
\vspace*{-6mm}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
\phi_X(s) = \sum_{n=1}^{\infty}
|
||||
e^{jsx_n} P(X=x_n)\\[5mm]
|
||||
E(X^k) = \frac{\phi_X^{(k)}(0)}{j^k}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\end{greenblock}
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\begin{greenblock}{Erzeugende Funktion}
|
||||
\vspace*{-6mm}
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
\psi(z) = \sum_{n=1}^{\infty} z^n P(X=n)\\[5mm]
|
||||
P(X=n) = \frac{\psi_X^{(n)}(0)}{n!}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\end{greenblock}
|
||||
\end{columns}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\subsection{Aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
|
||||
|
||||
Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion $F_X(x)$:
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
xmin=0,xmax=5.5,
|
||||
ymin=0,ymax=1,
|
||||
xtick={0,...,5},
|
||||
ytick={0,0.2,...,1},
|
||||
xlabel=$x$,
|
||||
ylabel=$F_X(x)$,
|
||||
width=12cm,
|
||||
height=5cm,
|
||||
]
|
||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
||||
coordinates
|
||||
{
|
||||
(0,0)
|
||||
(1,0)
|
||||
(1,0.2)
|
||||
(2,0.2)
|
||||
(2,0.6)
|
||||
(3,0.6)
|
||||
(3,0.7)
|
||||
(4,0.7)
|
||||
(4,0.9)
|
||||
(5,0.9)
|
||||
(5,1)
|
||||
(5.5,1)
|
||||
};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\vspace*{-10mm}
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\item Stellen Sie die Verteilung $P_X(x)$ graphisch dar.
|
||||
\item Geben Sie die erzeugende Funktion $\psi_X(z)$ und die
|
||||
charakteristische Funktion $\phi_X(s)$ an. Berechnen Sie mit mithilfe
|
||||
von $\phi_X(s)$ die Varianz $V(X)$.
|
||||
\item Vergleichen Sie den Median und den Erwartungswert von $X$. Sind
|
||||
beide Kenngrößen gleich? Begründen Sie, welche Eigenschaft einer
|
||||
diskreten Verteilung ausschlaggebend ist, damit beide Werte gleich
|
||||
sind.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
|
||||
|
||||
Gegeben ist folgende Verteilungsfunktion $F_X(x)$:
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
xmin=0,xmax=5.5,
|
||||
ymin=0,ymax=1,
|
||||
xtick={0,...,5},
|
||||
ytick={0,0.2,...,1},
|
||||
xlabel=$x$,
|
||||
ylabel=$F_X(x)$,
|
||||
width=12cm,
|
||||
height=5cm,
|
||||
]
|
||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
||||
coordinates
|
||||
{
|
||||
(0,0)
|
||||
(1,0)
|
||||
(1,0.2)
|
||||
(2,0.2)
|
||||
(2,0.6)
|
||||
(3,0.6)
|
||||
(3,0.7)
|
||||
(4,0.7)
|
||||
(4,0.9)
|
||||
(5,0.9)
|
||||
(5,1)
|
||||
(5.5,1)
|
||||
};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\vspace*{-10mm}
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\item Stellen Sie die Verteilung $P_X(x)$ graphisch dar.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
|
||||
\pause
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
xmin=0,xmax=5.5,
|
||||
ymin=0,ymax=0.5,
|
||||
xtick={0,...,5},
|
||||
ytick={0,0.1,...,0.5},
|
||||
xlabel=$x$,
|
||||
ylabel=$P_X(x)$,
|
||||
width=12cm,
|
||||
height=5cm,
|
||||
]
|
||||
\addplot+[ycomb,mark=*, line width=1pt]
|
||||
coordinates
|
||||
{
|
||||
(1,0.2)
|
||||
(2,0.4)
|
||||
(3,0.1)
|
||||
(4,0.2)
|
||||
(5,0.1)
|
||||
};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
|
||||
|
||||
\vspace*{-12mm}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
xmin=0,xmax=5.5,
|
||||
ymin=0,ymax=0.5,
|
||||
xtick={0,...,5},
|
||||
ytick={0,0.1,...,0.5},
|
||||
xlabel=$x$,
|
||||
ylabel=$P_X(x)$,
|
||||
width=12cm,
|
||||
height=5cm,
|
||||
]
|
||||
\addplot+[ycomb,mark=*, line width=1pt]
|
||||
coordinates
|
||||
{
|
||||
(1,0.2)
|
||||
(2,0.4)
|
||||
(3,0.1)
|
||||
(4,0.2)
|
||||
(5,0.1)
|
||||
};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\vspace*{-5mm}
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\setcounter{enumi}{1}
|
||||
\item Geben Sie die erzeugende Funktion $\psi_X(z)$ und die
|
||||
charakteristische Funktion $\phi_X(s)$ an. Berechnen Sie mit mithilfe
|
||||
von $\phi_X(s)$ die Varianz $V(X)$.
|
||||
\pause\begin{align*}
|
||||
\psi_X(z) &= \sum_{n=1}^{5} z^n P(X=n) = 0{,}2z + 0{,}4z^2 + 0{,}1z^3
|
||||
+ 0{,}2z^4 + 0{,}1z^5 \\
|
||||
\phi_X(s) &= \sum_{n=1}^{5} e^{jsx_n}P(X=n) = 0{,}2e^{js}
|
||||
+ 0{,}4e^{j2s} + 0{,}1e^{j3s} + 0{,}2e^{j4s} + 0{,}1e^{j5s}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\pause\begin{gather*}
|
||||
\left.\begin{array}{c}
|
||||
V(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2\\[3mm]
|
||||
E(X) = \displaystyle\frac{\phi_X'(0)}{j}
|
||||
= \sum_{n=1}^{5} nP(X=n) = 2{,}6\\[5mm]
|
||||
E(X^2) = \displaystyle\frac{\phi_X''(0)}{j^2}
|
||||
= \sum_{n=1}^{5} n^2 P(X=n) = 8{,}4
|
||||
\end{array}\right\} \Rightarrow V(X) = 8{,}4 - 2{,}6^2 = 1{,}64
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Aufgabe 2: Erzeugende \& Charakteristische\\ Funktion}
|
||||
|
||||
\vspace*{-5mm}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
xmin=0,xmax=5.5,
|
||||
ymin=0,ymax=1,
|
||||
xtick={0,...,5},
|
||||
ytick={0,0.2,...,1},
|
||||
xlabel=$x$,
|
||||
ylabel=$F_X(x)$,
|
||||
width=12cm,
|
||||
height=5cm,
|
||||
]
|
||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
||||
coordinates
|
||||
{
|
||||
(0,0)
|
||||
(1,0)
|
||||
(1,0.2)
|
||||
(2,0.2)
|
||||
(2,0.6)
|
||||
(3,0.6)
|
||||
(3,0.7)
|
||||
(4,0.7)
|
||||
(4,0.9)
|
||||
(5,0.9)
|
||||
(5,1)
|
||||
(5.5,1)
|
||||
};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\setcounter{enumi}{2}
|
||||
\item Vergleichen Sie den Median und den Erwartungswert von $X$. Sind
|
||||
beide Kenngrößen gleich? Begründen Sie, welche Eigenschaft einer
|
||||
diskreten Verteilung ausschlaggebend ist, damit beide Werte gleich
|
||||
sind.
|
||||
\pause\begin{align*}
|
||||
x_{1/2} &= \text{inf}\mleft\{ x\in \mathbb{R}: F_X(x) \ge 1/2 \mright\} = 2\\
|
||||
E(X) &= 2{,}6
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
||||
\vspace*{5mm}
|
||||
\centering
|
||||
\pause\begin{minipage}{0.7\textwidth}
|
||||
Median und Erwartungswert sind gleich (bei einer diskreten
|
||||
Verteilung mit ganzzahligen Stützstellen), wenn die Verteilung
|
||||
symmetrisch um denselben Punkt $c$ ist, d.h.,
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
P(c+k) = P(c-k) \hspace*{5mm} \forall k\in \mathbb{Z}.
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
@ -1,425 +0,0 @@
|
||||
\ifdefined\ishandout
|
||||
\documentclass[de, handout]{CELbeamer}
|
||||
\else
|
||||
\documentclass[de]{CELbeamer}
|
||||
\fi
|
||||
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
% CEL Template
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
|
||||
\newcommand{\templates}{preambles}
|
||||
\input{\templates/packages.tex}
|
||||
\input{\templates/macros.tex}
|
||||
|
||||
\grouplogo{CEL_logo.pdf}
|
||||
|
||||
\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)}
|
||||
\groupnamewidth{80mm}
|
||||
|
||||
\fundinglogos{}
|
||||
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
% Custom commands
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
|
||||
\input{lib/latex-common/common.tex}
|
||||
\pgfplotsset{colorscheme/rocket}
|
||||
|
||||
\newcommand{\res}{src/2025-12-19/res}
|
||||
|
||||
% \tikzstyle{every node}=[font=\small]
|
||||
% \captionsetup[sub]{font=small}
|
||||
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
% Document setup
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
|
||||
\usepackage{tikz}
|
||||
\usepackage{tikz-3dplot}
|
||||
\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
|
||||
%\tikzexternalize[prefix=build/]
|
||||
|
||||
\usepackage{pgfplots}
|
||||
\pgfplotsset{compat=newest}
|
||||
\usepgfplotslibrary{fillbetween}
|
||||
|
||||
\usepackage{enumerate}
|
||||
\usepackage{listings}
|
||||
\usepackage{subcaption}
|
||||
\usepackage{bbm}
|
||||
\usepackage{multirow}
|
||||
|
||||
\usepackage{xcolor}
|
||||
|
||||
\title{WT Tutorium 4}
|
||||
\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
|
||||
\date[]{19. Dezember 2025}
|
||||
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
% Document body
|
||||
%
|
||||
%
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut]
|
||||
\titlepage
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\section{Aufgabe 1}
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\subsection{Theorie Wiederholung}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{sasdf}
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\subsection{Aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}
|
||||
|
||||
Die Zufallsvariable X besitze die Dichte
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f_X (x) = \left\{
|
||||
\begin{array}{ll}
|
||||
C \cdot x e^{-ax^2}, & x \ge 0 \\
|
||||
0, &\text{sonst}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{align*}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
|
||||
mit dem Parameter $a > 0$.
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\item Bestimmen Sie den Koeffizienten $C$, sodass $f_X(x)$ eine
|
||||
Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Welche Eigenschaften muss eine
|
||||
\textbf{Wahrscheinlichkeitsdichte} erfüllen? Skizzieren Sie
|
||||
$f_X (x)$ für $a = 0{,}5$.
|
||||
\item Welche Eigenschaften muss eine \textbf{Verteilungsfunktion}
|
||||
erfüllen?
|
||||
\item Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_X (x)$.
|
||||
\item Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis
|
||||
$\{\omega : 1 < X(\omega) \le 2\}$?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}
|
||||
|
||||
\vspace*{-15mm}
|
||||
|
||||
Die Zufallsvariable X besitze die Dichte
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{align*}
|
||||
f_X (x) = \left\{
|
||||
\begin{array}{ll}
|
||||
C \cdot x e^{-ax^2}, & x \ge 0 \\
|
||||
0, &\text{sonst}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{align*}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
|
||||
mit dem Parameter $a > 0$.
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\item Bestimmen Sie den Koeffizienten $C$, sodass $f_X(x)$ eine
|
||||
Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Welche Eigenschaften muss eine
|
||||
\textbf{Wahrscheinlichkeitsdichte} erfüllen? Skizzieren Sie
|
||||
$f_X (x)$ für $a = 0{,}5$.
|
||||
\pause\begin{columns}
|
||||
\column{\kitthreecolumns}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\text{Eigenschaften:} \hspace{5mm}
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{rl}
|
||||
f_X(x) &\ge 0 \\[3mm]
|
||||
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx &= 1
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\pause\begin{gather*}
|
||||
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx
|
||||
= \int_{-\infty}^{\infty} C\cdot x e^{-ax^2} dx
|
||||
= \frac{C}{-2a} \int_{-\infty}^{\infty} (-2ax) e^{-ax^2} dx \\
|
||||
= \frac{C}{-2a} \int_{-\infty}^{\infty} (e^{-ax^2})' dx
|
||||
= \frac{C}{-2a} \mleft[ e^{-ax^2} \mright]_0^{\infty} \overset{!}{=} 1 \hspace{10mm} \Rightarrow C = 2a
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\centering
|
||||
\column{\kitthreecolumns}
|
||||
\pause \begin{align*}
|
||||
f_X(x) =
|
||||
\left\{
|
||||
\begin{array}{ll}
|
||||
2ax \cdot e^{-ax^2}, & x\ge 0\\
|
||||
0, & \text{sonst}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.
|
||||
\end{align*}
|
||||
\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
domain=0:5,
|
||||
width=12cm,
|
||||
height=5cm,
|
||||
samples=100,
|
||||
xlabel={$x$},
|
||||
ylabel={$f_X(x)$},
|
||||
]
|
||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
||||
{x * exp(-0.5*x*x)};
|
||||
% {x *exp(-a*x*x)};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{columns}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}
|
||||
|
||||
\vspace*{-20mm}
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\setcounter{enumi}{1}
|
||||
\item Welche Eigenschaften muss eine \textbf{Verteilungsfunktion}
|
||||
erfüllen?
|
||||
\pause\vspace{-10mm}\begin{columns}[t]
|
||||
\column{\kitonecolumn}
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
\lim_{x\rightarrow -\infty} F_X(x) = 0\\
|
||||
\lim_{x\rightarrow +\infty} F_X(x) = 1
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\column{\kittwocolumns}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
x_1 \le x_2 \Rightarrow F_X(x_1) \le F_X(x_2) \\
|
||||
F_X(x+) = \lim_{h\rightarrow 0^+} F_X (x+h) = F_X(x)
|
||||
\hspace{5mm}\forall x\in \mathbb{R}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\column{\kitonecolumn}
|
||||
\end{columns}
|
||||
\pause\item Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_X (x)$.
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
f_X(x) = 2ax\cdot e^{-ax^2}, \hspace{5mm} x\ge 0
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\pause \vspace*{-6mm}\begin{gather*}
|
||||
F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(u) du
|
||||
= \left\{ \begin{array}{ll}
|
||||
\displaystyle\int_{0}^{x} 2au\cdot e^{-au^2} du, & x\ge 0 \\
|
||||
0, & x < 0
|
||||
\end{array} \right.
|
||||
\hspace{5mm} = \left\{ \begin{array}{ll}
|
||||
\mleft[ -e^{-au^2} \mright]_0^{x}, & x\ge 0 \\
|
||||
0, & x < 0
|
||||
\end{array} \right.
|
||||
\hspace{5mm} = \left\{ \begin{array}{ll}
|
||||
1 - e^{-ax^2}, & x\ge 0\\
|
||||
0, & x < 0
|
||||
\end{array} \right.
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\pause\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
domain=0:5,
|
||||
width=14cm,
|
||||
height=5cm,
|
||||
xlabel={$x$},
|
||||
ylabel={$F_X(x)$},
|
||||
]
|
||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
||||
{1 - exp(-0.5 * x*x)};
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\vspace*{-3mm}
|
||||
\pause\item Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis
|
||||
$\{\omega : 1 < X(\omega) \le 2\}$?
|
||||
\pause \begin{gather*}
|
||||
P(\mleft\{ \omega: 1 < X(\omega) \le 2 \mright\})
|
||||
= P(1 < X \le 2) = F_X(2) - F_X(1) = e^{-a} - e^{-4a}
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||
\section{Aufgabe 2}
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||||
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||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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||||
\subsection{Theorie Wiederholung}
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||||
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||||
\begin{frame}
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||||
\frametitle{sasdf}
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||||
\end{frame}
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||||
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||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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||||
\subsection{Aufgabe}
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||||
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||||
\begin{frame}
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||||
\frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
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||||
|
||||
In einem Produktionsprozess werden Ladegeräte für Mobiltelefone
|
||||
hergestellt. Bevor die Ladegeräte mit den Mobiltelefonen zusammen
|
||||
verpackt werden, wird die Ladespannung von jedem Ladegerät einmal
|
||||
gemessen. Die Messwerte der Ladespannungen der verschiedenen
|
||||
Ladegeräte genüge näherungsweise einer normalverteilten
|
||||
Zufallsvariablen mit $\mu = 5$ Volt und $\sigma = 0,07$ Volt. Alle
|
||||
Ladegeräte, bei denen die Messung um mehr als $4$ \% vom Sollwert
|
||||
$S = 5$ Volt abweicht, sollen aussortiert werden.
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\item Wie viel Prozent der Ladegeräte werden aussortiert?
|
||||
\item Der Hersteller möchte seinen Produktionsprozess so verbessern,
|
||||
dass nur noch halb so viele Ladegeräte wie in a) aussortiert
|
||||
werden. Auf welchen Wert müsste er dazu $\sigma$ senken?
|
||||
\item Durch einen Produktionsfehler verschiebt sich der Mittelwert
|
||||
$\mu$ auf $5{,}1$ Volt ($\sigma$ ist $0{,}07$ Volt). Wie groß ist
|
||||
jetzt der Prozentsatz, der aussortiert wird?
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
|
||||
|
||||
\vspace*{-10mm}
|
||||
|
||||
In einem Produktionsprozess werden Ladegeräte für Mobiltelefone
|
||||
hergestellt. Bevor die Ladegeräte mit den Mobiltelefonen zusammen
|
||||
verpackt werden, wird die Ladespannung von jedem Ladegerät einmal
|
||||
gemessen. Die Messwerte der Ladespannungen der verschiedenen
|
||||
Ladegeräte genüge näherungsweise einer normalverteilten
|
||||
Zufallsvariablen mit $\mu = 5$ Volt und $\sigma = 0,07$ Volt. Alle
|
||||
Ladegeräte, bei denen die Messung um mehr als $4$ \% vom Sollwert
|
||||
$S = 5$ Volt abweicht, sollen aussortiert werden.
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\item Wie viel Prozent der Ladegeräte werden aussortiert?
|
||||
\begin{columns}[c]
|
||||
\column{\kitthreecolumns}
|
||||
\centering
|
||||
\pause \begin{gather*}
|
||||
X \sim \mathcal{N} \mleft( \mu = 0{,}5, \sigma = 0{,}07^2 \mright)
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\begin{align*}
|
||||
P(E_\text{a}) &= P \Big( \big( X < S(1-\delta) \big)
|
||||
\cup \big( X > S(1 + \delta) \big) \Big) \\
|
||||
&= P(X < S(1 - \delta)) + P(X > S(1 + \delta)) \\[2mm]
|
||||
&= P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
|
||||
+ P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
|
||||
&\approx \Phi(-2.86) + \left(1 - \Phi(2.86)\right) \\
|
||||
&= 2 - 2\Phi(2.86) \approx 0{,}424\text{\%}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\column{\kitthreecolumns}
|
||||
\centering
|
||||
\pause\begin{figure}[H]
|
||||
\centering
|
||||
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[
|
||||
domain=4.6:5.3,
|
||||
xmin=4.7, xmax=5.3,
|
||||
width=14cm,
|
||||
height=6cm,
|
||||
xlabel={$x$},
|
||||
ylabel={$F_X (x)$},
|
||||
samples=100,
|
||||
xtick = {4.6,4.7,4.8,...,5.4}
|
||||
]
|
||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt]
|
||||
{1 / sqrt(2*3.1415*0.07*0.07) * exp(-(x - 5)*(x-5)/(2*0.07*0.07))};
|
||||
|
||||
\addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt] coordinates {(4.8, -1) (4.8, 2)};
|
||||
\addplot +[scol2, mark=none, line width=1pt] coordinates {(5.2, -1) (5.2, 2)};
|
||||
\node at (axis cs: 4.8, 3) {$S(1-\delta)$};
|
||||
\node at (axis cs: 5.2, 3) {$S(1+\delta)$};
|
||||
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{figure}
|
||||
\end{columns}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
\end{frame}
|
||||
|
||||
\begin{frame}
|
||||
\frametitle{Aufgabe 2: Normalverteilung}
|
||||
|
||||
\vspace*{-18mm}
|
||||
|
||||
% tex-fmt: off
|
||||
\begin{enumerate}[a{)}]
|
||||
\setcounter{enumi}{1}
|
||||
\item Der Hersteller möchte seinen Produktionsprozess so verbessern,
|
||||
dass nur noch halb so viele Ladegeräte wie in a) aussortiert
|
||||
werden. Auf welchen Wert müsste er dazu $\sigma$ senken?
|
||||
\pause\begin{gather*}
|
||||
P(E_\text{b}) = \frac{1}{2} P(E_\text{a}) \approx 0.212\text{\%} \\
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\vspace*{-18mm}
|
||||
\begin{columns}
|
||||
\pause\column{\kitthreecolumns}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{align*}
|
||||
P(E_\text{b}) &\overset{\text{a)}}{=} P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma'}\right)
|
||||
+ P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma'}\right) \\[2mm]
|
||||
&= P\left(Z < -\frac{0{,}2}{\sigma'}\right)
|
||||
+ P\left(Z > \frac{0{,}2}{\sigma'}\right) \\[2mm]
|
||||
&= \Phi\left(-\frac{0{,}2}{\sigma'}\right)
|
||||
+ \left(1 - \Phi\left(\frac{0{,}2}{\sigma'} \right)\right) \\[2mm]
|
||||
&= 2 - 2 \Phi\left(\frac{0{,}2}{\sigma'} \right)
|
||||
\end{align*}
|
||||
\pause\column{\kitthreecolumns}
|
||||
\centering
|
||||
\begin{gather*}
|
||||
2 - 2\Phi\left(\frac{0.2}{\sigma'}\right) = 2{,}12\cdot 10^{-3} \\
|
||||
\Rightarrow \Phi\left(\frac{0.2}{\sigma'}\right) \approx 0.9989 \\
|
||||
\Rightarrow \sigma' \approx \frac{0{,}2}{\Phi^{-1}(0{,}9989)}
|
||||
\approx \frac{0{,}2}{3{,}08} \approx 0.65
|
||||
\end{gather*}
|
||||
\end{columns}
|
||||
\pause \vspace*{-5mm}\item Durch einen Produktionsfehler verschiebt sich der
|
||||
Mittelwert $\mu$ auf $5{,}1$ Volt ($\sigma$ ist $0{,}07$ Volt).
|
||||
Wie groß ist jetzt der Prozentsatz, der aussortiert wird?
|
||||
\pause \begin{align*}
|
||||
P(E_\text{c}) &\overset{\text{a)}}{=} P\left(Z < \frac{S(1 - \delta) - \mu}{\sigma}\right)
|
||||
+ P\left(Z > \frac{S(1 + \delta) - \mu}{\sigma}\right) \\[2mm]
|
||||
&\approx \Phi(-4{,}29) + (1 - \Phi(1{,}43)) \\
|
||||
& = 2 - \Phi(4{,}29) - \Phi(1{,}43) \approx 7.78 \text{\%}
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
% tex-fmt: on
|
||||
\end{frame}
|
||||
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\end{document}
|
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