From f0c3f6a13e9d2be112031420bd732e372aa11adf Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andreas Tsouchlos Date: Sat, 1 Nov 2025 21:52:10 +0100 Subject: [PATCH] Add tut3 exercise 1 --- src/2025-12-05/presentation.tex | 554 ++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 554 insertions(+) create mode 100644 src/2025-12-05/presentation.tex diff --git a/src/2025-12-05/presentation.tex b/src/2025-12-05/presentation.tex new file mode 100644 index 0000000..59a6bf6 --- /dev/null +++ b/src/2025-12-05/presentation.tex @@ -0,0 +1,554 @@ +\ifdefined\ishandout +\documentclass[de, handout]{CELbeamer} +\else +\documentclass[de]{CELbeamer} +\fi + +% +% +% CEL Template +% +% + +\newcommand{\templates}{preambles} +\input{\templates/packages.tex} +\input{\templates/macros.tex} + +\grouplogo{CEL_logo.pdf} + +\groupname{Communication Engineering Lab (CEL)} +\groupnamewidth{80mm} + +\fundinglogos{} + +% +% +% Custom commands +% +% + +\input{lib/latex-common/common.tex} +\pgfplotsset{colorscheme/rocket} + +\newcommand{\res}{src/2025-12-0/res} + +% \tikzstyle{every node}=[font=\small] +% \captionsetup[sub]{font=small} + +% +% +% Document setup +% +% + +\usepackage{tikz} +\usepackage{tikz-3dplot} +\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning} +%\tikzexternalize[prefix=build/] + +\usepackage{pgfplots} +\pgfplotsset{compat=newest} +\usepgfplotslibrary{fillbetween} + +\usepackage{enumerate} +\usepackage{listings} +\usepackage{subcaption} +\usepackage{bbm} +\usepackage{multirow} + +\usepackage{xcolor} + +\title{WT Tutorium 3} +\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos} +\date[]{12. Dezember 2025} + +% +% +% Document body +% +% + +\begin{document} + +\begin{frame}[title white vertical, picture=images/IMG_7801-cut] + \titlepage +\end{frame} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\section{Aufgabe 1} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\subsection{Theorie Wiederholung} + +% \begin{frame} +% \frametitle{Bedingte Wahrscheinlichkeiten \& Bayes} +% +% \vspace*{-10mm} +% +% \begin{columns} +% \column{\kitthreecolumns} +% \begin{itemize} +% \item Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit +% \begin{gather*} +% P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)} +% \end{gather*} +% \item Formel von Bayes +% \begin{gather*} +% P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)} +% \end{gather*} +% \end{itemize} +% \column{\kitthreecolumns} +% \begin{figure} +% \centering +% \begin{tikzpicture} +% \node[rectangle, minimum width=8cm, minimum height=5cm, +% draw, line width=1pt, fill=black!20] at (0,0) {}; +% \node [circle, minimum size = 4cm, +% draw, line width=1pt, fill=KITgreen, +% fill opacity = 0.5] at (1.25cm,0) {}; +% \draw[line width=1pt, fill=KITblue, +% fill opacity = 0.5, rounded corners=5mm] +% (-2.4cm, -2.25cm) -- (-2.4cm, 2.25cm) -- (1.1cm,0) -- cycle; +% +% \node[left] at (4cm, 2cm) {\Large $\Omega$}; +% \node at (-1.8cm, 0) {$A$}; +% \node at (1.8cm, 0) {$B$}; +% \node at (0, 0) {$AB$}; +% \end{tikzpicture} +% \end{figure} +% \end{columns} +% \vspace*{1cm} +% \pause +% \begin{columns} +% \column{\kitthreecolumns} +% \begin{itemize} +% \item Satz der totalen Wahrscheinlichkeit +% % tex-fmt: off +% \begin{gather*} +% \text{Voraussetzungen: }\hspace{5mm} \left\{ +% \begin{array}{l} +% A_1, A_2, \ldots \text{ disjunkt}\\ +% \displaystyle\sum_{n} A_n = \Omega +% \end{array} +% \right.\\[1em] +% P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n)\\ +% \end{gather*} +% % tex-fmt: on +% \end{itemize} +% \column{\kitthreecolumns} +% \begin{figure} +% \centering +% \begin{tikzpicture} +% \newcommand{\hordist}{1.2cm} +% \newcommand{\vertdist}{2cm} +% +% \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt, +% minimum size=3mm] (root) at (0, 0) {}; +% \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt, +% minimum size=3mm, below left=\vertdist and +% 2.4*\hordist of root] (n1) {}; +% \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt, +% minimum size=3mm, below right=\vertdist and +% 2.4*\hordist of root] (n2) {}; +% \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt, +% minimum size=3mm, below left=\vertdist and \hordist +% of n1] (n11) {}; +% \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt, +% minimum size=3mm, below right=\vertdist and \hordist +% of n1] (n12) {}; +% \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt, +% minimum size=3mm, below left=\vertdist and \hordist +% of n2] (n21) {}; +% \node[circle, fill=KITgreen, inner sep=0pt, +% minimum size=3mm, below right=\vertdist and \hordist +% of n2] (n22) {}; +% +% \draw[-{Latex}, line width=1pt] (root) -- (n1); +% \draw[-{Latex}, line width=1pt] (root) -- (n2); +% \draw[-{Latex}, line width=1pt] (n1) -- (n11); +% \draw[-{Latex}, line width=1pt] (n1) -- (n12); +% \draw[-{Latex}, line width=1pt] (n2) -- (n21); +% \draw[-{Latex}, line width=1pt] (n2) -- (n22); +% +% \node[left] at ($(root)!0.4!(n1)$) {$P(A_1)$}; +% \node[right] at ($(root)!0.4!(n2)$) {$P(A_2)$}; +% +% \node[left] at ($(n1)!0.4!(n11)$) {$P(B\vert A_1)$}; +% \node[right] at ($(n1)!0.2!(n12)$) {$P(C\vert A_1)$}; +% \node[left] at ($(n2)!0.6!(n21)$) {$P(B\vert A_2)$}; +% \node[right] at ($(n2)!0.4!(n22)$) {$P(C\vert A_2)$}; +% +% \node[below] at (n11) {$P(BA_1)$}; +% \node[below] at (n12) {$P(CA_2)$}; +% \node[below] at (n21) {$P(BA_1)$}; +% \node[below] at (n22) {$P(CA_2)$}; +% \end{tikzpicture} +% \end{figure} +% \end{columns} +% \end{frame} +% +% \begin{frame} +% \frametitle{Zusammenfassung} +% +% \begin{columns} +% \column{\kitthreecolumns} +% \begin{greenblock}{Bedingte Wahrscheinlichkeit} +% \vspace*{-6mm} +% \begin{gather*} +% P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)} +% \end{gather*} +% \end{greenblock} +% \column{\kitthreecolumns} +% \begin{greenblock}{Formel von Bayes} +% \vspace*{-6mm} +% \begin{gather*} +% P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)} +% \end{gather*} +% \end{greenblock} +% \end{columns} +% \begin{columns} +% \column{\kitonecolumn} +% \column{\kitthreecolumns} +% \begin{greenblock}{Satz der totalen Wahrscheinlichkeit} +% \vspace*{-6mm} +% \begin{gather*} +% P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n) +% \end{gather*} +% \end{greenblock} +% \column{\kitonecolumn} +% \end{columns} +% \end{frame} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\subsection{Aufgabe} + +\begin{frame} + \frametitle{Aufgabe 1: Diskrete Verteilungen} + + \vspace*{-10mm} + + Eine Polizistin führt $N = 6$ Radarkontrollen auf einer + Landstraße durch. Die Radarkontrollen + können als unabhängig angenommen werden und führen jeweils mit + der Wahrscheinlichkeit + $p = 0,2$ zu einem Strafzettel. Die diskrete Zufallsvariable $R : + \Omega \rightarrow R$ beschreibt die Anzahl der + Strafzettel in $N = 6$ Kontrollen. + + % tex-fmt: off + \begin{enumerate}[a{)}] + \item Geben Sie den Ergebnisraum $\Omega$ der diskreten Zufallsvariablen $R$ an + und bestimmen Sie deren Erwartungswert $E(R)$. + \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es bei $6$ + Kontrollen genau $3$ Strafzettel gibt? + \item Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_R(r)$ der + Zufallsvariablen $R$. + \end{enumerate} + % tex-fmt: on + + \vspace*{5mm} + + \textit{Die folgenden Teilaufgaben können unabhängig von den + bisherigen Teilaufgaben bearbeitet werden.} + + \vspace*{5mm} + + Ein Autofahrer muss jeden Tag auf seinem Arbeitsweg über die + Landstraße und über die + Autobahn fahren. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der + Autofahrer auf der Landstraße bzw. + auf der Autobahn zu schnell fährt und einen Strafzettel bekommt, + liegt bei $p_\text{L} = 0,2$ bzw. bei + $p_\text{A} = 0,3$. + + \vspace*{5mm} + + \textbf{Hinweis}: Es wird nur der einfache Weg (Hinweg) betrachtet. + + % tex-fmt: off + \begin{enumerate}[a{)}] + \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Autofahrer + an einem Tag $0$, $1$ oder $2$ Strafzettel bekommt? + \item Der Autofahrer fährt an $200$ unabhängigen Tagen im Jahr über + seinen Arbeitsweg zur Arbeit. Wie viele Strafzettel sammelt der + Autofahrer innerhalb eines Jahres? + \end{enumerate} + % tex-fmt: on +\end{frame} + +% \begin{frame} +% +% \frametitle{Aufgabe 1: Bedingte Wahrscheinlichkeiten \\\& Bayes} +% +% In einer Population von gelben Animationsfiguren, den Minions, +% werden zwei Merkmale unterschieden: Augenzahl und Körpergröße. Es gilt: +% \begin{itemize} +% \item $80\%$ der Minions haben zwei Augen, $20\%$ nur eines. +% \item Von den zweiäugigen Minions sind $20\%$ groß, $70\%$ +% mittelgroß und $10\%$ klein. +% \item Von den einäugigen Minions sind $5\%$ groß, $60\%$ +% mittelgroß und $35\%$ klein. +% \end{itemize} +% +% % tex-fmt: off +% \begin{enumerate}[a{)}] +% \item Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig +% ausgewähltes Minion klein, mittelgroß +% oder groß ist. +% \item Ein zufällig ausgewähltes Minion ist nicht klein. Mit +% welcher Wahrscheinlichkeit ist es +% einäugig? +% \end{enumerate} +% % tex-fmt: on +% +% \end{frame} +% +% \begin{frame} +% +% \frametitle{Aufgabe 1: Bedingte Wahrscheinlichkeiten \\\& Bayes} +% +% In einer Population von gelben Animationsfiguren, den Minions, +% werden zwei Merkmale unterschieden: Augenzahl und Körpergröße. Es gilt: +% \begin{itemize} +% \item $80\%$ der Minions haben zwei Augen, $20\%$ nur eines. +% \item Von den zweiäugigen Minions sind $20\%$ groß, $70\%$ +% mittelgroß und $10\%$ klein. +% \item Von den einäugigen Minions sind $5\%$ groß, $60\%$ +% mittelgroß und $35\%$ klein. +% \end{itemize} +% +% % tex-fmt: off +% \begin{enumerate}[a{)}] +% \item Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig +% ausgewähltes Minion klein, mittelgroß +% oder groß ist. +% \pause\begin{align*} +% P(K) &= P(K\vert N_1)P(N_1) + P(K\vert N_2)P(N_2) = 0.35\cdot 0.2 + 0.1\cdot 0.8 = 0.15\\ +% P(M) &= P(M\vert N_1)P(N_1) + P(M\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0.68\\ +% P(G) &= P(G\vert N_1)P(N_1) + P(G\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0.17 +% \end{align*} +% \item \pause Ein zufällig ausgewähltes Minion ist nicht klein. Mit +% welcher Wahrscheinlichkeit ist es +% einäugig? +% \pause\begin{align*} +% P(N_1 \vert \overline{K}) +% = \frac{P(\overline{K} \vert N_1)P(N_1)}{P(\overline{K})} +% = \frac{\left[ 1 - P(K\vert N_1) \right] P(N_1)}{1 - P(K)} +% = \frac{(1 - 0.35)\cdot 0.2}{1 - 0.15} \approx 0.153 +% \end{align*} +% \end{enumerate} +% % tex-fmt: on +% \end{frame} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\section{Aufgabe 2} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\subsection{Theorie Wiederholung} + +% \begin{frame} +% \frametitle{Zusätzliche Bedingungen und Unabhängigkeit} +% +% \begin{itemize} +% \item Erweiterte Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit +% \begin{gather*} +% P(A\vert BC) = \frac{P(AB\vert C)}{P(B\vert C)} +% \end{gather*} +% \item Satz von Bayes mit zusätzlichen Bedingungen +% \begin{gather*} +% P(A\vert BC) = \frac{P(B\vert AC) P(A\vert C)}{P(B\vert C)} +% \end{gather*} +% \pause +% \item Unabhängigkeit +% \begin{gather*} +% A,B \text{ Unabhängig} \hspace{5mm} +% \Leftrightarrow\hspace{5mm} P(AB) = P(A) P(B) +% \hspace{5mm} \Leftrightarrow \hspace{5mm} P(A\vert B) = P(A) +% \end{gather*} +% \end{itemize} +% \end{frame} +% +% \begin{frame} +% \frametitle{Zusammenfassung} +% +% \begin{columns} +% \column{\kitthreecolumns} +% \begin{greenblock}{Bedingte Wahrscheinlichkeit} +% \vspace*{-6mm} +% \begin{gather*} +% P(A\vert B) = \frac{P(AB)}{P(B)} +% \end{gather*} +% \end{greenblock} +% \column{\kitthreecolumns} +% \begin{greenblock}{Formel von Bayes} +% \vspace*{-6mm} +% \begin{gather*} +% P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)} +% \end{gather*} +% \end{greenblock} +% \end{columns} +% \begin{columns} +% \column{\kitthreecolumns} +% \begin{greenblock}{Satz der totalen Wahrscheinlichkeit} +% \vspace*{-6mm} +% \begin{gather*} +% P(B) = \sum_{n} P(B\vert A_n)P(A_n) +% \end{gather*} +% \end{greenblock} +% \column{\kitthreecolumns} +% \begin{greenblock}{Unabhängigkeit von Ereignissen} +% \vspace*{-6mm} +% \begin{gather*} +% P(AB) = P(A) P(B) +% \end{gather*} +% \end{greenblock} +% \end{columns} +% \end{frame} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\subsection{Aufgabe} + +% \begin{frame} +% \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit} +% +% \vspace*{-18mm} +% +% Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler +% aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder +% beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten +% sind bekannt: +% \begin{itemize} +% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$ +% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler +% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den +% Fehler $B$ und nicht Fehler $A$. +% \end{itemize} +% +% % tex-fmt: off +% \begin{enumerate}[a{)}] +% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von +% Fehler $B$ und dafür, dass ein +% Werkstück fehlerfrei ist. +% \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$? +% es auch Fehler $A$? +% \end{enumerate} +% % tex-fmt: on +% +% Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$ +% beobachtet. Der Fehler tritt +% mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$ +% eingetreten sind und mit der +% Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten +% sind. In allen anderen +% Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf. +% +% % tex-fmt: off +% \begin{enumerate}[a{)}] +% \setcounter{enumi}{2} +% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von +% Fehler $C$. +% \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit +% welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$? +% \end{enumerate} +% % tex-fmt: on +% \end{frame} +% +% \begin{frame} +% \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit} +% +% \vspace*{-10mm} +% +% Bei einer Qualitätskontrolle können Werkstücke zwei Fehler +% aufweisen: Fehler $A$, Fehler $B$, oder +% beide Fehler gleichzeitig. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten +% sind bekannt: +% \begin{itemize} +% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,05$ hat ein Werkstück den Fehler $A$ +% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,01$ hat ein Werkstück beide Fehler +% \item mit Wahrscheinlichkeit $0,03$ hat ein Werkstück nur den +% Fehler $B$ und nicht Fehler $A$. +% \end{itemize} +% +% % tex-fmt: off +% \begin{enumerate}[a{)}] +% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von +% Fehler $B$ und dafür, dass ein +% Werkstück fehlerfrei ist. +% \pause\begin{gather*} +% P(B) = P(B\vert A)P(A) + P(B\vert \overline{A})P(\overline{A}) = P(AB) + P(\overline{A}B) = 0.01 + 0.03 = 0.04 +% \end{gather*}\pause +% \vspace*{-15mm}\begin{gather*} +% P(\overline{A}\cap \overline{B}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - \left[P(A) + P(B) - P(A\cap B)\right] = 1 - \left(0.05 + 0.04 - 0.01\right) = 0.92 +% \end{gather*} +% \vspace*{-12mm}\pause \item Ist das Auftreten von Fehler $A$ unabhängig von Fehler $B$? +% es auch Fehler $A$? +% \pause\begin{gather*} +% \left. \begin{array}{l} +% P(AB) = 0.01 \\ +% P(A)P(B) = 0.05\cdot 0.04 = 0.002 +% \end{array}\right\} +% \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} P(AB) \neq P(A)P(B) \hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}A,B \text{ nicht unabhängig} +% \end{gather*} +% \end{enumerate} +% % tex-fmt: on +% \end{frame} +% +% \begin{frame} +% \frametitle{Aufgabe 2: Bayes \& Unabhängigkeit} +% +% \vspace*{-13mm} +% +% Bei der Kontrolle wird unerwartet ein zusätzlicher, dritter Fehler $C$ +% beobachtet. Der Fehler tritt +% mit der Wahrscheinlichkeit $0,01$ ein, wenn weder Fehler $A$ noch $B$ +% eingetreten sind und mit der +% Wahrscheinlichkeit $0,02$, wenn sowohl Fehler $A$ als auch $B$ eingetreten +% sind. In allen anderen +% Fällen tritt der Fehler $C$ nicht auf. +% +% % tex-fmt: off +% \begin{enumerate}[a{)}] +% \setcounter{enumi}{2} +% \item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von +% Fehler $C$. +% \pause\begin{align*} +% P(C) &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B}) +% + \overbrace{P(C\vert \overline{A}B)}^{0}P(\overline{A} B) +% + P(C\vert \overline{A}\overline{B})P(\overline{A}\overline{B}) \\ +% &= 0.02\cdot 0.01 + 0.01\cdot 0.92 = 0.0094 +% \end{align*} +% \vspace*{-12mm}\pause \item Sie beobachten, dass ein Werkstück den Fehler $C$ hat. Mit +% welcher Wahrscheinlichkeit hat es auch Fehler $A$? +% \pause\hspace*{-5mm}\begin{minipage}{0.48\textwidth} +% \centering +% \begin{align*} +% P(A\vert C) &= \frac{P(AC)}{P(C)}\\[5mm] +% P(AC) &= P(ACB) + P(AC \overline{B})\\ +% &= P(C\vert AB)P(AB) + \overbrace{P(C\vert A \overline{B})}^{0}P(A \overline{B})\\ +% &= 0.02\cdot 0.01 = 0.0002\\[5mm] +% P(A\vert C) &= \frac{0.0002}{0.0094} \approx 0.0213 +% \end{align*} +% \end{minipage}% +% \hspace*{-10mm} +% \begin{minipage}{0.06\textwidth} +% \centering +% \begin{tikzpicture} +% \draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,6cm); +% \end{tikzpicture} +% \end{minipage}% +% \begin{minipage}{0.48\textwidth} +% \centering +% \begin{align*} +% P(A\vert C) &= \frac{P(C\vert A)P(A)}{P(C)}\\[5mm] +% P(C\vert A) &= P(C\vert AB)P(B\vert A) +% + \overbrace{P(C\vert \overline{A} B)}^{0}P(\overline{A}B) \\ +% &= P(C\vert AB)\frac{P(AB)}{P(A)} = 0.02 \cdot \frac{0.01}{0.05} = 0.004\\[5mm] +% P(A\vert C) &= \frac{0.004\cdot 0.05}{0.0094} \approx 0.0213 +% \end{align*} +% \end{minipage} +% \end{enumerate} +% % tex-fmt: on +% \end{frame} + +\end{document} +