tut4: Add solutions for exercise 1

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@@ -118,7 +118,155 @@
             $\{\omega : 1 < X(\omega) \le 2\}$?
     \end{enumerate}
     % tex-fmt: on
+\end{frame}
 
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}
+
+    \vspace*{-15mm}
+
+    Die Zufallsvariable X besitze die Dichte
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{align*}
+        f_X (x) =  \left\{
+            \begin{array}{ll}
+                C \cdot x e^{-ax^2}, & x \ge 0 \\
+                0, &\text{sonst}
+            \end{array}
+            \right.
+    \end{align*}
+    % tex-fmt: on
+
+    mit dem Parameter $a > 0$.
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Bestimmen Sie den Koeffizienten $C$, sodass $f_X(x)$ eine
+            Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Welche Eigenschaften muss eine
+            \textbf{Wahrscheinlichkeitsdichte} erfüllen? Skizzieren Sie
+            $f_X (x)$ für $a = 0{,}5$.
+            \pause\begin{columns}
+                \column{\kitthreecolumns}
+                \begin{align*}
+                    \text{Eigenschaften:} \hspace{5mm}
+                    \left\{
+                    \begin{array}{rl}
+                        f_X(x) &\ge 0 \\[3mm]
+                        \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx &= 1
+                    \end{array}
+                    \right.
+                \end{align*}
+                \pause\begin{gather*}
+                    \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx
+                    = \int_{-\infty}^{\infty} C\cdot x e^{-ax^2} dx
+                    = \frac{C}{-2a} \int_{-\infty}^{\infty} (-2ax) e^{-ax^2} dx  \\
+                    = \frac{C}{-2a} \int_{-\infty}^{\infty} (e^{-ax^2})' dx
+                    = \frac{C}{-2a} \mleft[ e^{-ax^2} \mright]_0^{\infty} \overset{!}{=} 1 \hspace{10mm} \Rightarrow C = 2a
+                \end{gather*}
+                \centering
+                \column{\kitthreecolumns}
+                \pause \begin{align*}
+                    f_X(x) =
+                    \left\{
+                        \begin{array}{ll}
+                            2ax \cdot e^{-ax^2}, & x\ge 0\\
+                            0, & \text{sonst}
+                        \end{array}
+                    \right.
+                \end{align*}
+                \begin{figure}[H]
+                    \centering
+                    \begin{tikzpicture}
+                        \begin{axis}[
+                            domain=0:5,
+                            width=12cm,
+                            height=5cm,
+                            samples=100,
+                            xlabel={$x$},
+                            ylabel={$f_X(x)$},
+                        ]
+                            \addplot+[mark=none, line width=1pt]
+                                {x * exp(-0.5*x*x)};
+                                % {x *exp(-a*x*x)};
+                        \end{axis}
+                    \end{tikzpicture}
+                \end{figure}
+            \end{columns}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Stetige Verteilungen}
+
+    \vspace*{-20mm}
+
+    % tex-fmt: off
+    \begin{enumerate}[a{)}]
+        \item Welche Eigenschaften muss eine \textbf{Verteilungsfunktion}
+            erfüllen?
+            \pause\vspace{-10mm}\begin{columns}[t]
+                \column{\kitonecolumn}
+                \column{\kittwocolumns}
+                \centering
+                \begin{gather*}
+                    \lim_{x\rightarrow -\infty} F_X(x) = 0\\
+                    \lim_{x\rightarrow +\infty} F_X(x) = 1
+                \end{gather*}
+                \column{\kittwocolumns}
+                \centering
+                \begin{gather*}
+                    x_1 \le x_2 \Rightarrow F_X(x_1) \le F_X(x_2) \\
+                    F_X(x+) = \lim_{h\rightarrow 0^+} F_X (x+h) = F_X(x)
+                    \hspace{5mm}\forall x\in \mathbb{R}
+                \end{gather*}
+                \column{\kitonecolumn}
+            \end{columns}
+        \pause\item Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion $F_X (x)$.
+        \begin{gather*}
+            f_X(x) = 2ax\cdot e^{-ax^2}, \hspace{5mm} x\ge 0
+        \end{gather*}
+        \pause \vspace*{-6mm}\begin{gather*}
+            F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(u) du
+            = \left\{ \begin{array}{ll}
+                    \displaystyle\int_{0}^{x} 2au\cdot e^{-au^2} du, & x\ge 0 \\
+                    0, & x < 0
+                \end{array} \right.
+            \hspace{5mm} = \left\{ \begin{array}{ll}
+                    \mleft[ -e^{-au^2} \mright]_0^{x}, & x\ge 0 \\
+                    0, & x < 0
+                \end{array} \right.
+            \hspace{5mm} = \left\{ \begin{array}{ll}
+                    1 - e^{-ax^2}, & x\ge 0\\ 
+                    0, & x < 0
+                \end{array} \right.
+        \end{gather*}
+        \pause\begin{figure}[H]
+            \centering
+
+            \begin{tikzpicture}
+                \begin{axis}[
+                    domain=0:5,
+                    width=14cm,
+                    height=5cm,
+                    xlabel={$x$},
+                    ylabel={$F_X(x)$},
+                ]
+                    \addplot+[mark=none, line width=1pt]
+                        {1 - exp(-0.5 * x*x)};
+                \end{axis}
+            \end{tikzpicture}
+        \end{figure}
+        \vspace*{-3mm}
+        \pause\item Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis
+            $\{\omega : 1 < X(\omega) \le 2\}$?
+            \pause \begin{gather*}
+                P(\mleft\{ \omega: 1 < X(\omega) \le 2 \mright\})
+                = P(1 < X \le 2) = F_X(2) - F_X(1) = e^{-a} - e^{-4a}
+            \end{gather*}
+    \end{enumerate}
+    % tex-fmt: off
 \end{frame}
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%