From beb97ef1984e1e786a307b8b8195206045d967d5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Andreas Tsouchlos Date: Sun, 26 Oct 2025 17:06:36 +0100 Subject: [PATCH] Add solution to exercise 1 --- src/2025-11-21/presentation.tex | 170 ++++++++------------------------ 1 file changed, 39 insertions(+), 131 deletions(-) diff --git a/src/2025-11-21/presentation.tex b/src/2025-11-21/presentation.tex index 7cb58ca..4586354 100644 --- a/src/2025-11-21/presentation.tex +++ b/src/2025-11-21/presentation.tex @@ -249,6 +249,43 @@ \end{frame} +\begin{frame} + + \frametitle{Aufgabe 1: Bedingte Wahrscheinlichkeiten \\\& Bayes} + + In einer Population von gelben Animationsfiguren, den Minions, + werden zwei Merkmale unterschieden: Augenzahl und Körpergröße. Es gilt: + \begin{itemize} + \item 80\% der Minions haben zwei Augen, 20\% nur eines. + \item Von den zweiäugigen Minions sind 20\% groß, 70\% + mittelgroß und 10\% klein. + \item Von den einäugigen Minions sind 5\% groß, 60\% + mittelgroß und 35\% klein. + \end{itemize} + + % tex-fmt: off + \begin{enumerate}[a{)}] + \item Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig + ausgewähltes Minion klein, mittelgroß + oder groß ist. + \pause\begin{align*} + P(K) &= P(K\vert N_1)P(N_1) + P(K\vert N_2)P(N_2) = 0.35\cdot 0.2 + 0.1\cdot 0.8 = 0.15\\ + P(M) &= P(M\vert N_1)P(N_1) + P(M\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0.68\\ + P(G) &= P(G\vert N_1)P(N_1) + P(G\vert N_2)P(N_2) = \cdots = 0.17 + \end{align*} + \item \pause Ein zufällig ausgewähltes Minion ist nicht klein. Mit + welcher Wahrscheinlichkeit ist es + einäugig? + \pause\begin{align*} + P(N_1 \vert \overline{K}) + = \frac{P(\overline{K} \vert N_1)P(N_1)}{P(\overline{K})} + = \frac{\left[ 1 - P(K\vert N_1) \right] P(N_1)}{1 - P(K)} + = \frac{(1 - 0.35)\cdot 0.2}{1 - 0.15} \approx 0.153 + \end{align*} + \end{enumerate} + % tex-fmt: on +\end{frame} + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Aufgabe 2} @@ -267,7 +304,8 @@ \begin{gather*} P(A\vert BC) = \frac{P(B\vert AC) P(A\vert C)}{P(B\vert C)} \end{gather*} - \pause \item Unabhängigkeit + \pause + \item Unabhängigkeit \begin{gather*} A,B \text{ Unabhängig} \hspace{5mm} \Leftrightarrow\hspace{5mm} P(AB) = P(A) P(B) @@ -313,136 +351,6 @@ \end{columns} \end{frame} -% \begin{frame} -% \frametitle{Kombinatorik} -% -% \vspace*{-18mm} -% -% \begin{itemize} -% \item Potenzmenge -% \vspace*{-2mm} -% \begin{columns} -% \column{\kitfourcolumns} -% \begin{align*} -% \mathcal{P}\mleft( \Omega \mright) = \mleft\{ A: -% A \subseteq \Omega \mright\} \hspace{10mm} -% \left(\text{``Menge aller -% Teilmengen von $\Omega$''}\right) -% \end{align*} -% \column{\kittwocolumns} -% \begin{lightgrayhighlightbox} -% Beispiel -% \begin{gather*} -% \Omega = \{ A, B, C \} -% \end{gather*}% -% \vspace*{-15mm}% -% \begin{align*} -% \mathcal{P}(\Omega) = \{ &\emptyset, -% \mleft\{ A \mright\}, \mleft\{ B \mright\}, -% \mleft\{ C \mright\}, \mleft\{ A, B -% \mright\},\\ -% &\mleft\{ A, C \mright\}, -% \mleft\{ B, C \mright\}, \mleft\{ A, B, C -% \mright\} \} -% \end{align*}% -% \vspace*{-14mm}% -% \end{lightgrayhighlightbox} -% \end{columns} -% \vspace*{-3mm} -% \item \pause Variationen und Kombinationen -% \setlength\extrarowheight{2mm} -% \begin{table} -% \begin{tabular}{r||l|l} -% & Mit Zurücklegen & Ohne Zurücklegen -% \\\hline\hline Mit Reihenfolge -% (\textit{Variationen}) & $\lvert -% \widetilde{V}_N^{(K)} \rvert = N^K$ & $\lvert -% V_N^{(K)}\rvert = \frac{N!}{(N-K)!} $ \\\hline -% Ohne Reihenfolge (\textit{Kombinationen}) & -% $\lvert \widetilde{C}_N^{(K)} \rvert = -% \binom{N+K-1}{K} $ & $\lvert C_N^{(K)} \rvert -% = \binom{N}{K} $ -% \end{tabular} -% \end{table} -% \item \pause Permutationen -% \begin{columns} -% \column{\kitfourcolumns} -% \begin{gather*} -% \Pi_N = \mleft\{ \mleft( a_1, \ldots, a_N -% \mright) \in \Omega : a_i \neq a_j, i \neq j -% \mright\}\\ -% \begin{array}{r} -% \text{Alle Elemente von $\Omega$ -% unterscheidbar:} \\ -% \text{Jeweils $L_1, L_2, \ldots, L_M$ der Elemente -% sind gleich:} -% \end{array} -% \hspace{5mm} -% \begin{array}{rl} -% \lvert \Pi_N \rvert &= N! \\ -% \lvert \Pi_N^{(L_1, -% L_2, \ldots, L_M)} \rvert &= -% \frac{N!}{L_1!L_2!\cdots L_M!} -% \end{array} -% \end{gather*} -% \column{\kittwocolumns} -% \begin{lightgrayhighlightbox} -% Beispiel: -% \begin{gather*} -% \Omega = {A, B, C}\\ -% \Pi_N = \{ (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C),\\ -% (B,C,A), (C,A,B), (C,B,A)\} -% \end{gather*} -% \vspace*{-14mm}% -% \end{lightgrayhighlightbox} -% \end{columns} -% \end{itemize} -% \end{frame} -% -% \begin{frame} -% \frametitle{Zusammenfassung} -% -% \begin{columns} -% \column{\kitthreecolumns} -% \begin{greenblock}{Potenzmenge} -% \vspace*{-6mm} -% \begin{gather*} -% \mathcal{P}\mleft( \Omega \mright) = \mleft\{ A: -% A \subseteq \Omega \mright\} -% \end{gather*} -% \end{greenblock} -% \column{\kitthreecolumns} -% \begin{greenblock}{Permutationen} -% \vspace*{-6mm} -% \begin{align*} -% \lvert \Pi_N \rvert &= N! \\ -% \lvert \Pi_N^{(L_1, L_2, \ldots, L_M)} \rvert &= -% \frac{N!}{L_1!L_2!\cdots L_M!} -% \end{align*} -% \end{greenblock} -% \end{columns} -% \begin{columns} -% \column{\kitonecolumn} -% \column{\kitfourcolumns} -% \begin{greenblock}{Variationen \& Kombinationen } -% \begin{table} -% \begin{tabular}{r||l|l} -% & Mit Zurücklegen & Ohne Zurücklegen -% \\\hline\hline Mit Reihenfolge -% (\textit{Variationen}) & $\lvert -% \widetilde{V}_N^{(K)} \rvert = N^K$ & $\lvert -% V_N^{(K)}\rvert = \frac{N!}{(N-K)!} $ \\\hline -% Ohne Reihenfolge (\textit{Kombinationen}) & -% $\lvert \widetilde{C}_N^{(K)} \rvert = -% \binom{N+K-1}{K} $ & $\lvert C_N^{(K)} \rvert -% = \binom{N}{K} $ -% \end{tabular} -% \end{table} -% \end{greenblock} -% \column{\kitonecolumn} -% \end{columns} -% \end{frame} - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Aufgabe}