diff --git a/src/2026-02-13/presentation.tex b/src/2026-02-13/presentation.tex index 0dc21ba..bcc55af 100644 --- a/src/2026-02-13/presentation.tex +++ b/src/2026-02-13/presentation.tex @@ -157,7 +157,7 @@ X_1 \\ \vdots \\ X_N - \end{pmatrix}\sim P_{\bm{X}}$ + \end{pmatrix}\sim f_{\bm{X}}$ }; \node[right=of model] (x) { @@ -246,7 +246,7 @@ X_1 \\ \vdots \\ X_N - \end{pmatrix}\sim P_{\bm{X}}$ + \end{pmatrix}\sim f_{\bm{X}}$ }; \draw[ @@ -266,18 +266,123 @@ \end{frame} \begin{frame} - \frametitle{Schätzer I} + \frametitle{Punktschätzer I} + + \vspace*{-10mm} \begin{itemize} - \item asdf + \item Beispiel: Temperaturschätzung + \vspace*{-5mm} + \begin{figure}[H] + \centering + + \begin{tikzpicture} + \node[ + rectangle, + densely dashed, + draw, + inner sep=5mm, + ] (x) { + $ + \bm{x} = + \begin{pmatrix} + 26{,}2 \\ + 27{,}8 \\ + 25{,}7 \\ + \vdots + \end{pmatrix} + $ + }; + + \node[ + rectangle, + right=of x, + minimum width=5cm, minimum height=2cm, + draw=kit-green, fill=kit-green!20, + line width=1pt, + align=center, + inner sep=3mm + ] (est) {Schätzer\\[5mm] $T(\bm{x}) = + \displaystyle\frac{1}{N} + \sum_{i=0}^{N} x_i$}; + + \node[ + above=of est, + rectangle, + densely dashed, + draw, + inner sep=5mm, + ] (model) { + $X_i \sim \mathcal{N}(\mu = \vartheta, \sigma^2 = 1)$ + }; + + \node[right=of est] (theta) {$\hat{\vartheta} + = 26{,}0$}; + + \node[below] at (x.south) {Beobachtung}; + \node[above] at (model.north) {Parametrisiertes Modell}; + + \draw[-{Latex}, line width=1pt] (x) -- (est); + \draw[-{Latex}, line width=1pt] (model) -- (est); + \draw[-{Latex}, line width=1pt] (model) -- (est); + \draw[-{Latex}, line width=1pt] (est) -- (theta); + \end{tikzpicture} + \end{figure} + \pause\item Punktschätzer: Rechenvorschrift zur Berechnung von + Parametern aus Beobachtungen \\ + $\rightarrow$ Schätzer hängen von den Realisierungen ab + und sind damit selbst auch zufällig \\ + $\rightarrow$ Schätzer haben selbst einen Erwartungswert + und eine Varianz \end{itemize} \end{frame} \begin{frame} - \frametitle{Schätzer II} + \frametitle{Punktschätzer II} + + \vspace*{-10mm} \begin{itemize} - \item asdf + \item Erwartungtreue + \begin{gather*} + E(\hat{\vartheta}) = E\big( T(\bm{X}) \big) = \vartheta + \end{gather*} + + \begin{figure}[H] + \centering + ``Im Mittel gibt der Schätzer der richtigen Wert zurück'' + \end{figure} + + \vspace*{10mm} + \pause + \item Konsistenz + \begin{gather*} + \lim_{N\rightarrow \infty} P_\vartheta \big( \lvert + T_N - \vartheta \rvert \ge \varepsilon \big) = 0 + \end{gather*} + + \begin{figure}[H] + \centering + ``Der Schätzer streut weniger, je mehr Realisierungen + betrachtet werden'' + \end{figure} + + \vspace*{10mm} + \pause + \item Effizienz (für erwartungtreue Schätzer) + \begin{gather*} + V(\hat{\vartheta}) = \frac{1}{J(\vartheta)}, + \hspace*{5mm} J(\vartheta) = - E\left( + \frac{\partial^2}{\partial \vartheta^2} + \ln \mleft( f_\vartheta (\bm{X}) \mright) + \right) + \end{gather*} + + \begin{figure}[H] + \centering + ``Für jedes N hat der Schätzer jeweils die + kleinstmögliche Varianz'' + \end{figure} \end{itemize} \end{frame}