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\newcommand{\templates}{lib/cel-template}
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\newbool{EnglishLanguage}
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\maketitle
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\end{frame}
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% TODO: Replace slide content with relevant stuff
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\begin{frame}
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\frametitle{ }
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\frametitle{Relevante Theorie I}
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\eqbox{
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\begin{gather*}
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||||
f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\
|
||||
P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\
|
||||
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx
|
||||
\end{gather*}
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}
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\begin{figure}
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\centering
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\begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth}
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\centering
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\begin{gather*}
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||||
\text{Normalverteilung:} \hspace{8mm}
|
||||
f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
|
||||
e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
|
||||
\end{gather*}
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||||
\end{subfigure}%
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||||
\begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth}
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\centering
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||||
\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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domain=-4:4,
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samples=100,
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width=\textwidth,
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height=0.5\textwidth,
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ticks=none,
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xlabel={$x$},
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ylabel={$f_X(x)$}
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]
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||||
\addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)};
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||||
\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\end{subfigure}
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\end{figure}
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\end{frame}
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% TODO: Replace slide content with relevant stuff
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\begin{frame}
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\frametitle{2022H - Aufgabe 4}
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Für die Planung und Konstruktion von Windkraftanlagen ist eine
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statistische Modellierung der
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Windgeschwindigkeit essentiell. Die absolute Windgeschwindigkeit
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kann als Weibull-verteilte
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Zufallsvariable V mit den Parametern $\beta > 0$ und $\theta > 0$
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modelliert werden. Die zugehörige
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Verteilungsfunktion ist%
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%
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\begin{gather*}
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||||
F_V(v) = 1 - exp\left( -\left( \frac{v}{\theta} \right)^\beta
|
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\right), \hspace{3mm} v \ge 0
|
||||
\end{gather*}
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%
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_V(v)$
|
||||
der Weibullverteilung.
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||||
\item Eine Windkraftanlage speist Strom in das Stromnetz ein,
|
||||
wenn die absolute Windgeschwindigkeit größer als $4
|
||||
m/s$, jedoch kleiner als $25 m/s$ ist. Berechnen Sie die
|
||||
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Windkraftanlage Strom
|
||||
einspeist, wenn die Windgeschwindigkeit Weibull-verteilt
|
||||
mit $\beta = 2,0$ und $\theta = 6,0$ ist.
|
||||
\item Eine Zufallsvariable W genüge einer Weibullverteilung
|
||||
mit $\beta = 1$ und $\theta = 3$. Ermitteln Sie den
|
||||
Erwartungsvert $E(W)$.
|
||||
\item Warum ist die Weibullverteilung für die Modellierung
|
||||
der absoluten Windgeschwindigkeit besser geeignet als
|
||||
eine Normalverteilung?
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||||
\end{enumerate}
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\end{frame}
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% TODO: Replace slide content with relevant stuff
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\begin{frame}
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\frametitle{Relevante Theorie II}
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\eqbox{
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\begin{gather*}
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f_X(x) := \frac{d}{dx} F_X(x) \\
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||||
P(X \le x) = F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \\
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E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f_X(x) dx
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\end{gather*}
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}
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\begin{figure}
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\centering
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\begin{subfigure}[c]{0.5\textwidth}
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\centering
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\begin{gather*}
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\text{Normalverteilung:} \hspace{8mm}
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f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}
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e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
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\end{gather*}
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\end{subfigure}%
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\begin{subfigure}[c]{0.4\textwidth}
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\centering
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[
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domain=-4:4,
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samples=100,
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width=\textwidth,
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height=0.5\textwidth,
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ticks=none,
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xlabel={$x$},
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ylabel={$f_X(x)$}
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]
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\addplot+[mark=none, line width=1pt] {exp(-x^2)};
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\end{subfigure}
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\end{figure}
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\end{frame}
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% TODO: Replace slide content with relevant stuff
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\frametitle{2022H - Aufgabe 4}
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Für die Planung und Konstruktion von Windkraftanlagen ist eine
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statistische Modellierung der
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Windgeschwindigkeit essentiell. Die absolute Windgeschwindigkeit
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kann als Weibull-verteilte
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Zufallsvariable V mit den Parametern $\beta > 0$ und $\theta > 0$
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modelliert werden. Die zugehörige
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Verteilungsfunktion ist%
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\begin{gather*}
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F_V(v) = 1 - exp\left( -\left( \frac{v}{\theta} \right)^\beta
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\right), \hspace{3mm} v \ge 0
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\end{gather*}
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\item Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_V(v)$
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der Weibullverteilung.
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\item Eine Windkraftanlage speist Strom in das Stromnetz ein,
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wenn die absolute Windgeschwindigkeit größer als $4
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m/s$, jedoch kleiner als $25 m/s$ ist. Berechnen Sie die
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Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Windkraftanlage Strom
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einspeist, wenn die Windgeschwindigkeit Weibull-verteilt
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mit $\beta = 2,0$ und $\theta = 6,0$ ist.
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\item Eine Zufallsvariable W genüge einer Weibullverteilung
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mit $\beta = 1$ und $\theta = 3$. Ermitteln Sie den
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Erwartungsvert $E(W)$.
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\item Warum ist die Weibullverteilung für die Modellierung
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der absoluten Windgeschwindigkeit besser geeignet als
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eine Normalverteilung?
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\end{enumerate}
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\end{frame}
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\end{document}
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