Add gen_correlated_data.py and finish theory for exercise 1
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38
src/2026-01-30/gen_correlated_data.py
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38
src/2026-01-30/gen_correlated_data.py
Normal file
@ -0,0 +1,38 @@
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import numpy as np
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import matplotlib.pyplot as plt
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from numpy.typing import NDArray
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import argparse
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def twodim_array_to_pgfplots_table_string(a: NDArray):
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return (
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" \\\\\n".join([" ".join([str(vali) for vali in val]) for val in a]) + "\\\\\n"
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)
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def main():
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# Parse command line arguments
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parser = argparse.ArgumentParser()
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parser.add_argument("--correlation", "-c", type=np.float32, required=True)
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parser.add_argument("-N", type=np.int32, required=True)
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parser.add_argument("--plot", "-p", action="store_true")
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args = parser.parse_args()
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# Generate & plot data
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means = np.array([0, 0])
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cov = np.array([[1, args.correlation], [args.correlation, 1]])
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x = np.random.multivariate_normal(means, cov, size=args.N)
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print(twodim_array_to_pgfplots_table_string(x))
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if args.plot:
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plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1])
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plt.show()
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if __name__ == "__main__":
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main()
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@ -31,9 +31,9 @@
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|||||||
\usepackage{tikz-3dplot}
|
\usepackage{tikz-3dplot}
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||||||
\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
|
\usetikzlibrary{spy, external, intersections, positioning}
|
||||||
|
|
||||||
% \ifdefined\ishandout\else
|
\ifdefined\ishandout\else
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||||||
% \tikzexternalize
|
\tikzexternalize
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||||||
% \fi
|
\fi
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||||||
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||||||
\usepackage{pgfplots}
|
\usepackage{pgfplots}
|
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\pgfplotsset{compat=newest}
|
\pgfplotsset{compat=newest}
|
||||||
@ -114,7 +114,389 @@
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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||||||
\subsection{Theorie Wiederholung}
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\subsection{Theorie Wiederholung}
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% TODO: Write
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\begin{frame}
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\frametitle{Erinnerung: Kovarianz, Korrelation \\ \&
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Korrelationskoeffizient}
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\vspace*{-5mm}
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\begin{itemize}
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\item Kovarianz
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\begin{columns}
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\column{\kitthreecolumns}
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\begin{align*}
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\text{cov}(X,Y) &= E\bigg( \big(X - E(X)\big) \big(Y
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- E(Y)\big) \bigg) \\
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&= E(XY) - E(X)E(Y)
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|
\end{align*}
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\column{\kitthreecolumns}
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\begin{lightgrayhighlightbox}
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||||||
|
Erinnerung: Varianz
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\begin{align*}
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|
V(X) = E\big( \left(X - E(X)\right)^2 \big) =
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|
E(X^2) - E^2(X)
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||||||
|
\end{align*}
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||||||
|
\vspace*{-13mm}
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\end{lightgrayhighlightbox}
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|
\end{columns}
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|
\pause
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|
\item Korrelation
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\begin{align*}
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E(XY)
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||||||
|
\end{align*}
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\pause
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||||||
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\vspace*{-15mm}
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|
\item Korrelationskoeffizient
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\begin{align*}
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|
\rho_{XY} = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}},
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||||||
|
\hspace{10mm} \rho_{XY} \in [-1,1]
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||||||
|
\hspace{25mm} \rho_{XY} = 0
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||||||
|
\hspace{2mm}\Leftrightarrow\hspace{2mm}
|
||||||
|
E(XY) = E(X)E(Y)
|
||||||
|
\end{align*}
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||||||
|
\end{itemize}
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|
||||||
|
\vspace*{8mm}
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||||||
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|
||||||
|
\pause
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|
\begin{minipage}[t]{0.32\textwidth}
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||||||
|
\centering
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|
\begin{figure}[H]
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|
\centering
|
||||||
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||||||
|
\begin{tikzpicture}
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|
\begin{axis}[
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|
width=10cm,
|
||||||
|
height=5cm,
|
||||||
|
scatter/classes={
|
||||||
|
a={mark=*, blue}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
xtick=\empty,
|
||||||
|
ytick=\empty,
|
||||||
|
xlabel = $x$,
|
||||||
|
ylabel = $y$,
|
||||||
|
xmin=-4,xmax=4,
|
||||||
|
ymin=-1.5,ymax=2,
|
||||||
|
]
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|
\addplot+[
|
||||||
|
scol1,
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|
scatter,
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||||||
|
only marks,
|
||||||
|
scatter src=explicit symbolic,
|
||||||
|
]
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||||||
|
table[row sep=crcr] {
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|
x y \\
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||||||
|
0.9782846466992505 1.3425401677691273 \\
|
||||||
|
-0.3342085827306991 -0.3478699656733771 \\
|
||||||
|
1.0329768177464096 0.906099042791728 \\
|
||||||
|
0.4032837175133078 0.09609805659133519 \\
|
||||||
|
-0.47995152749835157 -0.5885801242458046 \\
|
||||||
|
-0.39301528503877914 0.5165601264867574 \\
|
||||||
|
-0.3016076234682761 0.3555224809310629 \\
|
||||||
|
-1.283841439924361 -1.092505952596916 \\
|
||||||
|
0.6394093134607625 0.7760543139022245 \\
|
||||||
|
-1.3930746204117168 -1.2539179604346171 \\
|
||||||
|
0.7066349809976303 0.26736104561273705 \\
|
||||||
|
-0.32358511023766134 -0.4974120460927544 \\
|
||||||
|
0.5697159086054595 0.7427982778218153 \\
|
||||||
|
0.7810330322454977 1.021722205669364 \\
|
||||||
|
-1.05027750818351 -1.088249765156553 \\
|
||||||
|
-0.18753992607010203 -0.4808932985122092 \\
|
||||||
|
0.9163016000620543 1.1130761981874584 \\
|
||||||
|
-0.16588501836421943 -0.5254281720340348 \\
|
||||||
|
1.7319708376031673 1.2174504869365954 \\
|
||||||
|
-0.5732884092151935 -0.4923142548003758 \\
|
||||||
|
1.2626814172655978 1.1468156532099922 \\
|
||||||
|
-1.1007514357735002 -0.626200459957605 \\
|
||||||
|
0.40631320003662 -0.3705703698506922 \\
|
||||||
|
-2.221684738838144 -2.739364284431091 \\
|
||||||
|
1.1309626619949467 1.1940429603335854 \\
|
||||||
|
0.3055128861785891 0.529524240616076 \\
|
||||||
|
-0.22522789028651527 -0.5082861632170081 \\
|
||||||
|
0.2726524372676921 -0.2466404699684424 \\
|
||||||
|
0.7078557266441373 0.8428284296154347 \\
|
||||||
|
-1.4402649481540337 -0.9344326515164862 \\
|
||||||
|
1.129522000340855 0.4510295424893529 \\
|
||||||
|
0.5870764491195138 0.5669363454321612 \\
|
||||||
|
2.3539677525351856 2.2253385575502285 \\
|
||||||
|
0.2028654829519406 0.24539632425150296 \\
|
||||||
|
-0.20861363707807395 -0.26125228812993867 \\
|
||||||
|
0.6187802012217948 -0.2685299708916181 \\
|
||||||
|
-0.2659232421672081 -0.22662166465228362 \\
|
||||||
|
1.2403675794143405 1.0157380953006032 \\
|
||||||
|
-0.0391562905128538 -0.6304153520459441 \\
|
||||||
|
0.9833408241524402 1.06523679491654 \\
|
||||||
|
0.5231710701516994 0.44339120385526315 \\
|
||||||
|
-3.2527645820047146 -2.955881198077996 \\
|
||||||
|
0.08993024102635327 0.6534559407213543 \\
|
||||||
|
0.4076640826339743 0.5075313685387366 \\
|
||||||
|
0.7431965606838403 0.04225691288802064 \\
|
||||||
|
2.0420226454403996 2.411788877111026 \\
|
||||||
|
-0.3652226483952774 -0.5846718876921133 \\
|
||||||
|
0.478643720906727 0.7267990110235567 \\
|
||||||
|
1.18457297115014 1.7548366300308906 \\
|
||||||
|
0.05462743086401826 -0.02632310517996274\\
|
||||||
|
};
|
||||||
|
\end{axis}
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{figure}
|
||||||
|
\end{minipage}%
|
||||||
|
\begin{minipage}[t]{0.32\textwidth}
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
\begin{figure}[H]
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\begin{axis}[
|
||||||
|
width=10cm,
|
||||||
|
height=5cm,
|
||||||
|
scatter/classes={
|
||||||
|
a={mark=*, blue}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
xtick=\empty,
|
||||||
|
ytick=\empty,
|
||||||
|
xlabel = $x$,
|
||||||
|
ylabel = $y$,
|
||||||
|
xmin=-2,xmax=1.7,
|
||||||
|
ymin=-6,ymax=6,
|
||||||
|
]
|
||||||
|
\addplot+[
|
||||||
|
scol1,
|
||||||
|
scatter,
|
||||||
|
only marks,
|
||||||
|
scatter src=explicit symbolic,
|
||||||
|
]
|
||||||
|
table[row sep=crcr] {
|
||||||
|
x y \\
|
||||||
|
1.474648977967909 1.4746489779679088 \\
|
||||||
|
0.16441809142886987 0.16441809142886984 \\
|
||||||
|
-2.031822997202981 -2.0318229972029807 \\
|
||||||
|
1.2182520939353458 1.2182520939353456 \\
|
||||||
|
-0.5531479118291289 -0.5531479118291288 \\
|
||||||
|
-1.47499216570319 -1.4749921657031897 \\
|
||||||
|
0.6306758881059998 0.6306758881059997 \\
|
||||||
|
-1.5640176651059605 -1.56401766510596 \\
|
||||||
|
-1.3859450407248939 -1.3859450407248937 \\
|
||||||
|
-1.0665944205353617 -1.0665944205353615 \\
|
||||||
|
0.7492473817601838 0.7492473817601837 \\
|
||||||
|
0.9499783172548493 0.949978317254849 \\
|
||||||
|
0.34018738058932396 0.3401873805893239 \\
|
||||||
|
-1.0096550061469416 -1.0096550061469414 \\
|
||||||
|
-0.6754142249990085 -0.6754142249990084 \\
|
||||||
|
-0.7514107790472649 -0.7514107790472647 \\
|
||||||
|
0.7509769467458492 0.750976946745849 \\
|
||||||
|
0.646133492401253 0.6461334924012528 \\
|
||||||
|
-1.745989051249313 -1.7459890512493126 \\
|
||||||
|
-0.29616542476720953 -0.2961654247672095 \\
|
||||||
|
0.845676968386932 0.8456769683869317 \\
|
||||||
|
-1.5863350761719144 -1.586335076171914 \\
|
||||||
|
-0.42188175903423886 -0.42188175903423875 \\
|
||||||
|
-1.6501793388980994 -1.650179338898099 \\
|
||||||
|
-0.5605813083780707 -0.5605813083780706 \\
|
||||||
|
0.9976042516699373 0.997604251669937 \\
|
||||||
|
-1.4071020277527053 -1.407102027752705 \\
|
||||||
|
1.2028353996291026 1.2028353996291024 \\
|
||||||
|
1.0123659351742527 1.0123659351742524 \\
|
||||||
|
1.3398753611390357 1.3398753611390355 \\
|
||||||
|
-1.8353880184343434 -1.835388018434343 \\
|
||||||
|
0.20942595245430015 0.2094259524543001 \\
|
||||||
|
-0.8821105204722243 -0.882110520472224 \\
|
||||||
|
0.2823899445624717 0.28238994456247163 \\
|
||||||
|
-0.6518146330435214 -0.6518146330435213 \\
|
||||||
|
0.48917046669684383 0.4891704666968437 \\
|
||||||
|
0.8356612510810297 0.8356612510810295 \\
|
||||||
|
-0.33074175460821187 -0.3307417546082118 \\
|
||||||
|
0.2947454674362563 0.29474546743625624 \\
|
||||||
|
-1.2159944359594155 -1.2159944359594153 \\
|
||||||
|
-0.21681449173721903 -0.21681449173721898 \\
|
||||||
|
-0.7152726760226845 -0.7152726760226844 \\
|
||||||
|
1.3162334939362095 1.3162334939362093 \\
|
||||||
|
0.2527835241858269 0.25278352418582684 \\
|
||||||
|
-0.9986661858536788 -0.9986661858536786 \\
|
||||||
|
-0.9568391971929098 -0.9568391971929096 \\
|
||||||
|
-0.5474319285933091 -0.547431928593309 \\
|
||||||
|
-2.30328755152605 -2.3032875515260494 \\
|
||||||
|
-1.2929155901531633 -1.292915590153163 \\
|
||||||
|
-0.8530475462391427 -0.8530475462391425\\
|
||||||
|
};
|
||||||
|
\end{axis}
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{figure}
|
||||||
|
\end{minipage}%
|
||||||
|
\begin{minipage}[t]{0.32\textwidth}
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
\begin{figure}[H]
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\begin{axis}[
|
||||||
|
width=10cm,
|
||||||
|
height=5cm,
|
||||||
|
scatter/classes={
|
||||||
|
a={mark=*, blue}
|
||||||
|
},
|
||||||
|
xtick=\empty,
|
||||||
|
ytick=\empty,
|
||||||
|
xlabel = $x$,
|
||||||
|
ylabel = $y$,
|
||||||
|
xmin=-4,xmax=4,
|
||||||
|
ymin=-2,ymax=2,
|
||||||
|
]
|
||||||
|
\addplot+[
|
||||||
|
scol1,
|
||||||
|
scatter,
|
||||||
|
only marks,
|
||||||
|
scatter src=explicit symbolic,
|
||||||
|
]
|
||||||
|
table[row sep=crcr] {
|
||||||
|
x y \\
|
||||||
|
-1.7077500965534018 0.9715072286946655 \\
|
||||||
|
1.1148806736392152 0.9230117606631614 \\
|
||||||
|
0.11058932943085453 -0.5157596318522968 \\
|
||||||
|
0.08527262614233909 -0.9720863462538933 \\
|
||||||
|
-1.4204389641047823 -0.9712150414232805 \\
|
||||||
|
-0.6705061079694784 -0.061860055599544606 \\
|
||||||
|
-0.6212830814536863 1.2589504540208847 \\
|
||||||
|
1.4236240086652356 -1.302789472184279 \\
|
||||||
|
-1.0975355477486632 -0.886909899437918 \\
|
||||||
|
1.5752231220795536 1.2260114881873 \\
|
||||||
|
1.2049717160174165 1.0705757620706944 \\
|
||||||
|
-1.7929521084203113 -1.0124364432205855 \\
|
||||||
|
1.1345482934601252 -0.7213210134187505 \\
|
||||||
|
0.06993810174580865 -1.5278087661910722 \\
|
||||||
|
0.50560442840041 1.1191719084519776 \\
|
||||||
|
-0.814167507403749 0.2021470144855546 \\
|
||||||
|
2.03061011925002 0.08990067866176893 \\
|
||||||
|
0.7257818062658367 0.22602273591014058 \\
|
||||||
|
0.5036942935085902 0.2520250465804246 \\
|
||||||
|
0.5973644458579076 -0.2093760967114109 \\
|
||||||
|
1.1104283164930224 1.5071527221448955 \\
|
||||||
|
-0.052216510646198096 -0.5465573566030532 \\
|
||||||
|
0.423205976943666 -0.21077815853809784 \\
|
||||||
|
0.2982451040844636 -1.3591258564459687 \\
|
||||||
|
0.539438662504297 -0.780387830281188 \\
|
||||||
|
0.08417174139937453 0.2725275842632153 \\
|
||||||
|
0.05733773656028022 0.8226842222044897 \\
|
||||||
|
0.12184004421107687 -1.0962860273484687 \\
|
||||||
|
3.0973129011059326 0.13325075656192403 \\
|
||||||
|
1.464718817591499 -2.0541680373660234 \\
|
||||||
|
0.6017327837974983 -0.43330515099025413 \\
|
||||||
|
-1.6527036180073127 -0.04153499563379528 \\
|
||||||
|
1.3583641617521591 -0.9127837751641491 \\
|
||||||
|
-0.2808122864213532 0.6566355071818034 \\
|
||||||
|
0.36085503878766245 -0.2372816111687184 \\
|
||||||
|
-0.7808961491915221 -0.4569496546349541 \\
|
||||||
|
-0.08144830754364803 0.5297194167082963 \\
|
||||||
|
-0.3832453043478111 0.695158762430314 \\
|
||||||
|
-0.3021005547959829 -0.7515146005101381 \\
|
||||||
|
0.0832540012145203 -1.6257847886861803 \\
|
||||||
|
-0.08783078629061673 0.48401963778829576 \\
|
||||||
|
0.5098330610876248 0.3327688893197499 \\
|
||||||
|
0.4804292632122983 -0.5397408326625166 \\
|
||||||
|
0.3612454424603153 -0.2728088913965057 \\
|
||||||
|
0.8706855868841972 1.8337909595106936 \\
|
||||||
|
-0.7868151662161218 1.643221471861054 \\
|
||||||
|
-0.5629480754112661 0.16190044666568626 \\
|
||||||
|
0.9623486507086952 -0.06821392925238735 \\
|
||||||
|
-0.390445497949156 -1.4902360360777431 \\
|
||||||
|
2.239228377147278 -0.2037307482272916\\
|
||||||
|
};
|
||||||
|
\end{axis}
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{figure}
|
||||||
|
\end{minipage}%
|
||||||
|
|
||||||
|
\pause
|
||||||
|
\vspace*{3mm}
|
||||||
|
\begin{minipage}[t]{0.32\textwidth}
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
$\rho = 0.9$
|
||||||
|
\end{minipage}%
|
||||||
|
\begin{minipage}[t]{0.32\textwidth}
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
$\rho = 1$
|
||||||
|
\end{minipage}%
|
||||||
|
\begin{minipage}[t]{0.32\textwidth}
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
$\rho = 0$
|
||||||
|
\end{minipage}%
|
||||||
|
\end{frame}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{frame}
|
||||||
|
\frametitle{Unabhängigkeit, Korrelation \& Disjunktheit}
|
||||||
|
|
||||||
|
\vspace*{-10mm}
|
||||||
|
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}[t]{0.47\textwidth}
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
\textbf{Disjunkte Ereignisse}
|
||||||
|
|
||||||
|
``A und B können nicht gleichzeitig eintreten''
|
||||||
|
\vspace*{-3mm} \\
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
\rule[1pt]{8cm}{1pt}
|
||||||
|
\vspace*{-3mm}
|
||||||
|
\begin{gather*}
|
||||||
|
P(A \cap B) = 0 \\
|
||||||
|
\Leftrightarrow \\
|
||||||
|
P(A \cup B) = P(A) + P(B)
|
||||||
|
\end{gather*}
|
||||||
|
\end{minipage}%
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}[t]{0.47\textwidth}
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
\textbf{Unabhängige Ereignisse}
|
||||||
|
|
||||||
|
``Es gibt keine Zusammenhang zwischen dem Eintreten von A und B'' \\
|
||||||
|
\vspace*{-3mm}
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
\rule[1pt]{8cm}{1pt}
|
||||||
|
\vspace*{-3mm}
|
||||||
|
\begin{gather*}
|
||||||
|
P(A \cap B) = P(A)P(B) \\
|
||||||
|
\overset{P(B) \neq 0}{\Leftrightarrow} \\
|
||||||
|
P(A | B) = P(A)
|
||||||
|
\end{gather*}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\vspace*{15mm}
|
||||||
|
|
||||||
|
\pause \hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}[t]{0.47\textwidth}
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
\textbf{Unkorrelierte ZV}
|
||||||
|
|
||||||
|
``Es gibt keinen linearen (genauer: affinen) Zusammenhang
|
||||||
|
zwischen X und Y'' \\
|
||||||
|
\vspace*{-3mm}
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
\rule[1pt]{8cm}{1pt}
|
||||||
|
\vspace*{-3mm}
|
||||||
|
\begin{gather*}
|
||||||
|
\rho_{XY} = 0 \\
|
||||||
|
\Leftrightarrow \\
|
||||||
|
E(XY) = E(X)E(Y)
|
||||||
|
\end{gather*}
|
||||||
|
\end{minipage}%
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}[t]{0.47\textwidth}
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
\textbf{Unabhängige ZV}
|
||||||
|
|
||||||
|
``Es gibt keinen Zusammenhang zwischen den Werten, welche X
|
||||||
|
und Y annehmen'' \\
|
||||||
|
\vspace*{-3mm}
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
\rule[1pt]{8cm}{1pt}
|
||||||
|
\vspace*{-3mm}
|
||||||
|
\begin{gather*}
|
||||||
|
f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y) \hspace{10mm} \text{(stetig)}\\
|
||||||
|
\text{bzw.} \\
|
||||||
|
P_{X,Y}(x, y) = P_X(x)P_Y(y) \hspace{9.5mm} \text{(diskret)}
|
||||||
|
\end{gather*}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\end{frame}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{frame}
|
\begin{frame}
|
||||||
\frametitle{Zusammenfassung}
|
\frametitle{Zusammenfassung}
|
||||||
@ -284,7 +666,55 @@
|
|||||||
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||||
\subsection{Theorie Wiederholung}
|
\subsection{Theorie Wiederholung}
|
||||||
|
|
||||||
% TODO: Write
|
\begin{frame}
|
||||||
|
\frametitle{Gesetze großer Zahlen}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Bernoulli'sches Gesetz großer Zahlen
|
||||||
|
\item Chintschin'sches Gesetz großer Zahlen
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
|
||||||
|
% TODO: Write
|
||||||
|
\end{frame}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{frame}
|
||||||
|
\frametitle{Zentraler Grenzwertsatz (ZGWS)}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item ZGWS von Lindeberg-Lévy
|
||||||
|
\item Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Binomialverteilung Formeln
|
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|
\item ZGWS
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||||||
|
\item (?) ZGWS ist vom Konzept eine ``Erweiterung vom Gesetz
|
||||||
|
großer Zahlen''
|
||||||
|
\item (Binomialverteilung $\rightarrow$ Normalverteilung) Visualisierung
|
||||||
|
\item Approximation der Binomialverteilung durch die
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|
Normalverteilung + wann zulässig
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|
\end{itemize}
|
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|
|
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|
% TODO: Write
|
||||||
|
\end{frame}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{frame}
|
||||||
|
\frametitle{Erinnerung: Rechnen mit Normalverteilungen}
|
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|
|
||||||
|
% TODO: Write
|
||||||
|
\end{frame}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{frame}
|
||||||
|
\frametitle{Zusammenfassung}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Tabelle
|
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|
\item $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$
|
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|
\item ZGWS: Approx von Binom.
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||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
|
||||||
|
% TODO: Write
|
||||||
|
\end{frame}
|
||||||
|
|
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||||
\subsection{Aufgabe}
|
\subsection{Aufgabe}
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||||||
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