Add solution for exercise 2c

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@@ -217,7 +217,8 @@
         \item Berechnen Sie die Dichte von $(Z = X \cdot Y)$ mithilfe des
             Transformationssatzes.
         \item Verwenden Sie einen alternativen Ansatz zur Berechnung der
-            Dichte. Hinweis: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
+            Dichte.\\
+            \textit{Hinweis}: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
         \item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ .
     \end{enumerate}
     % tex-fmt: on
@@ -295,16 +296,109 @@
 \begin{frame}
     \frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}
 
+    % tex-fmt: off
     \begin{enumerate}[a{)}]
         \setcounter{enumi}{1}
         \item Verwenden Sie einen alternativen Ansatz zur Berechnung der
-            Dichte. Hinweis: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
+            Dichte.\\
-            \pause\begin{align*}
+            \textit{Hinweis}: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
-            \end{align*}
-        \pause \item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ .
             \pause\begin{align*}
+                P(Z \le z) = P(XZ \le z) &= \int_{-\infty}^{\infty}
+                    \int_{-\infty}^{z/x} f_{X,Y}(x,y) dy dx \\[1mm]
+                &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{z}
+                    f_{X,Y}\left(x, \frac{u}{x}\right) \frac{1}{x} \; du dx
             \end{align*}
     \end{enumerate}
+    % tex-fmt: on
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}
+
+    \vspace*{-15mm}
+
+    \begin{minipage}[c]{0.5\textwidth}
+        % tex-fmt: off
+        \begin{enumerate}[a{)}]
+            \setcounter{enumi}{2}
+            \item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$.
+        \end{enumerate}
+        % tex-fmt: on
+    \end{minipage}%
+    \begin{minipage}[c]{0.5\textwidth}
+        \begin{lightgrayhighlightbox}
+            \vspace*{-8mm}
+            % tex-fmt: off
+            \begin{gather*}
+                \text{Bekannt: } \hspace{10mm}
+                \left\{\hspace{2mm}
+                    \begin{array}{l}
+                        f_{X,Y}(x,y) = x + y \\
+                        f_{Z}(z) = 2(1-z), \hspace{10mm} Z = X\cdot Y
+                    \end{array}
+                    \right.
+            \end{gather*}
+            % tex-fmt: on
+            \vspace*{-10mm}
+        \end{lightgrayhighlightbox}
+    \end{minipage}
+    \vspace*{2mm}
+    \pause
+    \begin{gather*}
+        \rho_{XY} = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}},
+        \hspace{15mm}
+        \begin{array}{l}
+            \text{cov}(X,Y) = \overbrace{E(XY)}^{E(Z)} - E(X)E(Y) \\
+            V(X) = E(X^2) - E^2(X)
+        \end{array},
+        \hspace*{15mm}
+        E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf_X(x) dx
+    \end{gather*}
+    \vspace*{5mm}
+    \pause
+    \begin{gather*}
+        f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy
+        = \int_{0}^{1} x + y dy
+        = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = x + \frac{1}{2}
+    \end{gather*}
+    \vspace*{-3mm}
+    \pause
+    \begin{gather*}
+        f(x,y) = f(y,x) \Rightarrow
+        \left\{
+            \begin{array}{l}
+                E(X) = E(Y) \\
+                V(X) = V(Y)
+            \end{array}
+            \right.
+            \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm}
+            \rho_{XY} = \frac{E(Z) - E^2(X)}{E(X^2) - E^2(X)}
+        \end{gather*}
+        \vspace*{5mm}
+        \pause
+        \begin{gather*}
+            \left.
+            \begin{array}{rl}
+                E(X) &= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx
+                = \int_{0}^{1} x(x+ \frac{1}{2}) dx
+                = \left[\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{4} \right]_0^1
+                = \frac{7}{12} \\
+                E(X^2) &= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}
+                x^2 f_X(x) dx
+                = \int_{0}^{1} x^2 (x + \frac{1}{2} ) dx
+                = \left[\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{6} \right]_0^1
+                = \frac{5}{12} \\
+                E(Z) &= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} z f_Z(z) dz
+                = \int_{0}^{1} z \cdot 2(1-z) dz
+                = 2 \left[ \frac{z^2}{2} - \frac{z^3}{3} \right]_0^1
+                = \frac{1}{3}
+            \end{array}
+            \hspace{3mm}
+        \right\}
+        \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm}
+        \rho_{XY} = \frac{\frac{1}{3} - (\frac{7}{12})^2}{\frac{5}{12}
+        - (\frac{7}{12})^2} = -\frac{1}{11}
+    \end{gather*}
 \end{frame}
 
 \end{document}