Add solutions for exercise 1

src/2026-02-13/presentation.tex

@@ -328,7 +328,8 @@
                     \draw[-{Latex}, line width=1pt] (est) -- (theta);
                 \end{tikzpicture}
             \end{figure}
-        \pause\item Punktschätzer: Rechenvorschrift zur Berechnung von
+            \pause
+        \item Punktschätzer: Rechenvorschrift zur Berechnung von
             Parametern aus Beobachtungen \\
             $\rightarrow$ Schätzer hängen von den Realisierungen ab
             und sind damit selbst auch zufällig \\
@@ -417,7 +418,128 @@
     \end{enumerate}
 \end{frame}
 
-% TODO: Add slides
+\begin{frame}
+    \frametitle{Aufgabe 1: Punktschätzer}
+
+    Die Anzahl der Studierenden, die zur Mittagszeit in der KIT-Mensa
+    essen gehen, sei näherungsweise Poissonverteilt mit unbekanntem
+    Parameter $\lambda > 0$, wobei $\lambda$ die mittlere Ankunftsrate an
+    Studierenden pro Minute ist.
+    \begin{gather*}
+        X_i \sim \text{Poisson}(\lambda),\hspace*{10mm} P(X_i = k
+        \vert \lambda) = \frac{\lambda^k}{k!}
+        e^{-\lambda},\hspace*{3mm} k\in \mathbb{N}_0
+    \end{gather*}
+    Aus N statistisch unabhängigen Messungen $x_i$ soll nun die mittlere
+    Ankunftsrate mithilfe eines ML-Schätzers geschätzt werden.
+
+    \begin{enumerate}%
+        % tex-fmt: off
+    [a{)}]
+        % tex-fmt: on
+        \item Bestimmen Sie die Log-Likelihoodfunktion für $N$
+            Messwerte und damit den ML-Schätzer für die
+            Ankunftsrate $\lambda$.
+            \begin{align*}
+                L_{\bm{x}}(\lambda) &= P(\bm{X} = \bm{x} | \lambda) =
+                \prod_{i=1}^{N} P(X_i=x_i | \lambda) =
+                \prod_{i=1}^{N} \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda} \\
+                l_{\bm{x}}(\lambda) &= \ln \left(
+                L_{\bm{x}}(\lambda) \right) = \ln \left(
+                \prod_{i=1}^{N} \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!} e^{-\lambda} \right)
+                =
+                \sum_{i=1}^{N}\left[\ln \left( e^{-\lambda} \right) +
+                    \ln \left( \lambda^{x_i} \right)
+                - \ln \left( x_i! \right)\right]
+                = - N \lambda + \sum_{i=1}^{N} \left[ x_i \ln \left(
+                \lambda \right) - \sum_{n=1}^{x_i} \ln \left( n \right) \right]
+            \end{align*}
+            \vspace*{5mm}
+            \begin{gather*}
+                \left.
+                \begin{array}{l}
+                    \displaystyle\frac{\partial
+                    l_{\bm{x}}(\lambda)}{\lambda} = -N +
+                    \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^{N} x_i \overset{!}{=} 0
+                    \Rightarrow \lambda = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N} \\[7mm]
+                    \displaystyle\frac{\partial^2 l_{\bm{x}}(\lambda)}{\partial
+                    \lambda^2} = - \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^{N} x_i < 0
+                \end{array}
+                % tex-fmt: off
+                \right\}
+                % tex-fmt: on
+                \Rightarrow \hat{\lambda}_\text{ML} =
+                \argmax_\lambda \hspace{2mm} l_{\bm{x}}(\lambda) =
+                \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
+                %
+                % \hat{\lambda}_\text{ML} = \argmax_\lambda
+                % \hspace{2mm} \ln \left( l_{\bm{x}} (\lambda) \right)
+            \end{gather*}
+    \end{enumerate}
+\end{frame}
+
+% TODO: Erwartungswert Rechenregeln in Zusammenfassung
+% TODO: Tschebyscheff Ungleichung in Theorie und Zusammenfassung
+\begin{frame}
+    \frametitle{}
+    \begin{enumerate}%
+        % tex-fmt: off
+    [a{)}]
+        % tex-fmt: on
+            \setcounter{enumi}{1}
+        \item Zeigen Sie, dass der Schätzer erwartungstreu ist.
+            \begin{gather*}
+                E(\hat{\lambda}_\text{ML}) = E \left(\frac{1}{N}
+                \sum_{i=1}^{N} X_i \right)
+                = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} E(X_i) = \frac{1}{N}
+                \cdot N \lambda = \lambda
+                \hspace{7mm}\Rightarrow\hspace{7mm} \text{Schätzer
+                ist erwartungstreu}
+            \end{gather*}
+        \item Ist der ML-Schätzer konsistent?
+            \begin{gather*}
+                E\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} - \lambda
+                    \rvert > \varepsilon
+                \right)
+                = E\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} -
+                    E\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right) \rvert > \varepsilon
+                \right)
+                \le
+                \frac{V\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right)}{\varepsilon^2} \\
+                V\left(\hat{\lambda}_\text{ML}\right) = V \left(
+                \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \right) =
+                \frac{1}{N^2} \sum_{i=1}^{N} V(X_i) =
+                \frac{N\lambda}{N^2} = \frac{\lambda}{N}
+            \end{gather*}
+            \begin{gather*}
+                E\left( \lvert \hat{\lambda}_\text{ML} - \lambda
+                    \rvert > \varepsilon
+                \right) \le \frac{\lambda}{N \varepsilon^2}
+                \overset{N\rightarrow
+                \infty}{\relbar\joinrel\relbar\joinrel\relbar\joinrel\rightarrow}
+                0
+                \hspace{7mm} \Rightarrow \hspace{7mm} \text{Schätzer
+                ist konsistent}
+            \end{gather*}
+        \item Ist der ML-Schätzer effizient?
+            \begin{gather*}
+                J\left( \lambda \right) = - E
+                \left(
+                    \frac{\partial^2}{\partial \lambda^2} l_{\bm{x}}
+                (\lambda) \right)
+                = - E \left( \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^{N} X_i \right)
+                = \frac{1}{\lambda^2} \sum_{i=1}^{N} E\left( X_i
+                \right) = \frac{N}{\lambda} \\[5mm]
+                V\left( \hat{\lambda}_\text{ML} \right)
+                % tex-fmt: off
+                \overset{\text{c)}}{=}
+                % tex-fmt: on
+                \frac{\lambda}{N} = \frac{1}{J\left( \lambda \right)}
+                \hspace{7mm} \Rightarrow \hspace{7mm} \text{Schätzer
+                ist effizient}
+            \end{gather*}
+    \end{enumerate}
+\end{frame}
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Aufgabe 2}