From 33ff39f9746293ea36fb6aba1c6541d50a0ee134 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Andreas Tsouchlos <an.tsouchlos@gmail.com>
Date: Fri, 16 Jan 2026 00:26:18 +0100
Subject: [PATCH] Add Poisson distribution explanation

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 src/2026-01-16/presentation.tex | 88 ++++++++++++++++++++++++++++++---
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+++ b/src/2026-01-16/presentation.tex
@@ -96,16 +96,68 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsection{Theorie Wiederholung}
 
+\begin{frame}
+    \frametitle{Unabhängige Zufallsvariablen}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Korrelation $\ne$ Unabhängigkeit (außer bei Normalverteilung)
+        \item Faltungssatz
+        \item Charakteristische Funktion für Summen
+    \end{itemize}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Unabhängigkeit hat nichts mit den Einzelverteilungen zu
+            tun, sie ist "eine Ebene höher"
+    \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Poisson-Verteilung}
+
+    \vspace*{-10mm}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Binomialverteilung für $N\rightarrow \infty$ mit
+            $pN=\text{const.}=: \lambda$ \\
+            \begin{itemize}
+                \item ``Übergang von diskreter auf stetige
+                    Zeitachse bei fester mittlerer Rate'' \\
+                \item $\lambda \equiv$ ``mittlere Rate an Treffern
+                    pro Zeitabschnitt''
+            \end{itemize}
+        \item Beispiele
+            \begin{itemize}
+                \item Sternschnuppen pro Stunde
+                \item Anzahl an Websitebesuchern pro Minute
+            \end{itemize}
+    \end{itemize}
+
+    \begin{gather*}
+        X \sim \text{Poisson}(\lambda)
+    \end{gather*}
+    \vspace*{-2mm}
+    \begin{gather*}
+        P_X(k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \\[2mm]
+        \phi_X(s) = \text{exp}\left(\lambda (e^{js} -1)\right)
+    \end{gather*}
+    \vspace*{-2mm}
+    \begin{align*}
+        E(X) &= \lambda\\
+        V(X) &= \lambda
+    \end{align*}
+\end{frame}
+
 \begin{frame}
     \frametitle{Zusammenfassung}
 
     \begin{columns}[t]
         \column{\kitthreecolumns}
-        \begin{greenblock}{Poisson Verteilung}
+        \begin{greenblock}{Poisson-Verteilung}
             \vspace*{-6mm}
             \begin{gather*}
-                X \sim \text{Poisson}(\lambda) \\
-                P_X(k) = \frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!}
+                X \sim \text{Poisson}(\lambda) \\[3mm]
+                P_X(k) = \frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!} \\[4mm]
+                \phi_X(s) = \text{exp}\left(\lambda (e^{js} -1)\right)
             \end{gather*}
         \end{greenblock}
         \begin{greenblock}{Binomialentwicklung}
@@ -116,17 +168,17 @@
             \end{gather*}
         \end{greenblock}
         \column{\kitthreecolumns}
-        \begin{greenblock}{Faltungssatz}
+        \begin{greenblock}{Faltungssatz (diskrete ZV)}
             \vspace*{-6mm}
             \begin{gather*}
-                Z = X + Y \\
+                Z = X + Y, \hspace{10mm}X,Y \text{ unabhängig} \\[3mm]
                 P_Z(n) = \nsum_{k=0}^{n} P_X(k)P_Y(n-k)
             \end{gather*}
         \end{greenblock}
-        \begin{greenblock}{Charakteristische Funktion einer Summe von ZVs}
+        \begin{greenblock}{Charakteristische Funktion einer Summe von ZV}
             \vspace*{-6mm}
             \begin{gather*}
-                Z = X + Y \\
+                Z = X + Y, \hspace{10mm}X,Y \text{ unabhängig} \\[3mm]
                 \phi_Z(s) = \phi_X(s) \cdot \phi_Y(s)
             \end{gather*}
         \end{greenblock}
@@ -235,11 +287,31 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \subsection{Theorie Wiederholung}
 
-% TODO:
+\begin{frame}
+    \frametitle{Korrelationskoeffizient}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Korrelation
+        \item Kovarianz
+        \item Korrelationskoeffizient
+    \end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \frametitle{Mehrdimensionale Zufallsvariablen}
+
+    \begin{itemize}
+        \item Randdichte
+        \item Transformationssatz (betonen, dass h1, h2 eineindeutig
+            sein müssen; Bild von Folie 85)
+    \end{itemize}
+\end{frame}
 
 \begin{frame}
     \frametitle{Zusammenfassung}
 
+    \vspace*{-10mm}
+
     \begin{columns}[t]
         \column{\kittwocolumns}
         \begin{greenblock}{Korrelationskoeffizient}