Finish explanation slides
This commit is contained in:
parent
54407061a0
commit
25e25a366f
@ -46,6 +46,7 @@
|
|||||||
\usepackage{amsmath}
|
\usepackage{amsmath}
|
||||||
\usepackage{graphicx}
|
\usepackage{graphicx}
|
||||||
\usepackage{calc}
|
\usepackage{calc}
|
||||||
|
\usepackage{amssymb}
|
||||||
|
|
||||||
\title{WT Tutorium 5}
|
\title{WT Tutorium 5}
|
||||||
\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
|
\author[Tsouchlos]{Andreas Tsouchlos}
|
||||||
@ -98,18 +99,17 @@
|
|||||||
\subsection{Theorie Wiederholung}
|
\subsection{Theorie Wiederholung}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{frame}
|
\begin{frame}
|
||||||
\frametitle{Unabhängige Zufallsvariablen}
|
\frametitle{Summen Unabhängiger Zufallsvariablen}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{itemize}
|
\begin{gather*}
|
||||||
\item Korrelation $\ne$ Unabhängigkeit (außer bei Normalverteilung)
|
Z = X + Y, \hspace{10mm}X,Y \text{ unabhängig} \\[4mm]
|
||||||
\item Faltungssatz
|
\begin{array}{rl}
|
||||||
\item Charakteristische Funktion für Summen
|
\text{Faltungssatz (diskret): } & P_Z(n) =
|
||||||
\end{itemize}
|
\nsum_{k=0}^{n} P_X(k)P_Y(n-k) \\[2mm]
|
||||||
|
\text{Charakteristische Funktion: } & \phi_Z(s) = \phi_X(s)
|
||||||
\begin{itemize}
|
\cdot \phi_Y(s)
|
||||||
\item Unabhängigkeit hat nichts mit den Einzelverteilungen zu
|
\end{array}
|
||||||
tun, sie ist ``eine Ebene höher''
|
\end{gather*}
|
||||||
\end{itemize}
|
|
||||||
\end{frame}
|
\end{frame}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{frame}
|
\begin{frame}
|
||||||
@ -133,6 +133,7 @@
|
|||||||
\end{itemize}
|
\end{itemize}
|
||||||
\end{itemize}
|
\end{itemize}
|
||||||
|
|
||||||
|
\pause
|
||||||
\begin{gather*}
|
\begin{gather*}
|
||||||
X \sim \text{Poisson}(\lambda)
|
X \sim \text{Poisson}(\lambda)
|
||||||
\end{gather*}
|
\end{gather*}
|
||||||
@ -151,6 +152,8 @@
|
|||||||
\begin{frame}
|
\begin{frame}
|
||||||
\frametitle{Zusammenfassung}
|
\frametitle{Zusammenfassung}
|
||||||
|
|
||||||
|
\vspace*{-20mm}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{columns}[t]
|
\begin{columns}[t]
|
||||||
\column{\kitthreecolumns}
|
\column{\kitthreecolumns}
|
||||||
\begin{greenblock}{Poisson-Verteilung}
|
\begin{greenblock}{Poisson-Verteilung}
|
||||||
@ -289,12 +292,60 @@
|
|||||||
\subsection{Theorie Wiederholung}
|
\subsection{Theorie Wiederholung}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{frame}
|
\begin{frame}
|
||||||
\frametitle{Korrelationskoeffizient}
|
\frametitle{Unabhängigkeit \& Korrelation}
|
||||||
|
|
||||||
|
\vspace*{-10mm}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{itemize}
|
\begin{itemize}
|
||||||
\item Korrelation
|
\item Unabhängige ZV (stetig)
|
||||||
|
\begin{columns}
|
||||||
|
\column{\kitthreecolumns}
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
X,Y \text{ unabhängig}
|
||||||
|
\hspace{5mm} \Leftrightarrow \hspace{5mm}
|
||||||
|
f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)
|
||||||
|
\end{align*}
|
||||||
|
\column{\kitthreecolumns}
|
||||||
|
\begin{lightgrayhighlightbox}
|
||||||
|
Erinnerung: Unabhängige Ereignisse
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
X,Y \text{ \normalfont unabhängig}
|
||||||
|
\hspace{5mm} \Leftrightarrow \hspace{5mm}
|
||||||
|
P(AB) = P(A)P(B)
|
||||||
|
\end{align*}
|
||||||
|
\vspace*{-13mm}
|
||||||
|
\end{lightgrayhighlightbox}
|
||||||
|
\end{columns}
|
||||||
|
\pause
|
||||||
\item Kovarianz
|
\item Kovarianz
|
||||||
|
\begin{columns}
|
||||||
|
\column{\kitthreecolumns}
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
\text{cov}(X,Y) &= E\bigg( \big(X - E(X)\big) \big(Y
|
||||||
|
- E(Y)\big) \bigg) \\
|
||||||
|
&= E(XY) - E(X)E(Y)
|
||||||
|
\end{align*}
|
||||||
|
\column{\kitthreecolumns}
|
||||||
|
\begin{lightgrayhighlightbox}
|
||||||
|
Erinnerung: Varianz
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
V(X) = E\big( \left(X - E(X)\right)^2 \big) = E(X^2) - E^2(X)
|
||||||
|
\end{align*}
|
||||||
|
\vspace*{-13mm}
|
||||||
|
\end{lightgrayhighlightbox}
|
||||||
|
\end{columns}
|
||||||
|
\item Korrelation
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
E(XY)
|
||||||
|
\end{align*}
|
||||||
|
\pause
|
||||||
\item Korrelationskoeffizient
|
\item Korrelationskoeffizient
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
\rho_{XY} = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}
|
||||||
|
\hspace{25mm} \rho_{XY} = 0
|
||||||
|
\hspace{2mm}\Leftrightarrow\hspace{2mm}
|
||||||
|
E(XY) = E(X)E(Y)
|
||||||
|
\end{align*}
|
||||||
\end{itemize}
|
\end{itemize}
|
||||||
\end{frame}
|
\end{frame}
|
||||||
|
|
||||||
@ -405,10 +456,204 @@
|
|||||||
\end{columns}
|
\end{columns}
|
||||||
\end{frame}
|
\end{frame}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{frame}
|
||||||
|
\frametitle{Unabhängigkeit vs. Korrelation}
|
||||||
|
|
||||||
|
\vspace*{-15mm}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Korrelation misst einen linearen Zusammenhang zwischen zwei ZV.\\
|
||||||
|
Unabhängigkeit gibt an ob zwei ZV ``überhaupt zusammenhängen''
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
\hspace{5mm} X,Y \text{ unabhängig}
|
||||||
|
\hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}
|
||||||
|
X,Y \text{ unkorreliert}
|
||||||
|
\end{align*}
|
||||||
|
\item Bei gemeinsam normalverteilten ZV gilt zusätzlich
|
||||||
|
\begin{align*}
|
||||||
|
\hspace{5mm} X,Y \text{ unkorreliert}
|
||||||
|
\hspace{5mm}\Rightarrow\hspace{5mm}
|
||||||
|
X,Y \text{ unabhängig}
|
||||||
|
\end{align*}
|
||||||
|
\vspace*{5mm}
|
||||||
|
\pause
|
||||||
|
\item Korrelation und Unabhängigkeit haben nichts mit den
|
||||||
|
Einzelverteilungen zu tun. Sie sind ``eine Ebene höher''
|
||||||
|
\begin{figure}[H]
|
||||||
|
\centering
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{subfigure}{0.32\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[
|
||||||
|
/pgfplots/scale only axis,
|
||||||
|
/pgfplots/width=3.5cm,
|
||||||
|
/pgfplots/height=3.5cm
|
||||||
|
]
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{axis}[
|
||||||
|
name=main axis,
|
||||||
|
view={0}{90},
|
||||||
|
ticks=none,
|
||||||
|
xlabel={$x$},ylabel={$y$},
|
||||||
|
]
|
||||||
|
\addplot3[
|
||||||
|
surf, shader=interp,
|
||||||
|
samples=40,
|
||||||
|
domain=-3:3, y domain=-3:3
|
||||||
|
]
|
||||||
|
{1/(2*pi*sqrt(0.5)) * exp(-1/(2*(1 -
|
||||||
|
sqrt(0.5))) * (x^2 -2*sqrt(0.5)*x*y + y^2) )};
|
||||||
|
\end{axis}
|
||||||
|
|
||||||
|
\node[below] at
|
||||||
|
($(main axis.south west) + (-.5, -.5)$)
|
||||||
|
{$f_{X,Y}(x,y)$};
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{axis}[
|
||||||
|
anchor=south west,
|
||||||
|
at=(main axis.north west),
|
||||||
|
height=2cm,
|
||||||
|
ticks=none,
|
||||||
|
ylabel={$f_X(x)$},
|
||||||
|
samples=50,
|
||||||
|
domain=-3:3,
|
||||||
|
xmin=-3,xmax=3,
|
||||||
|
]
|
||||||
|
\addplot[line width=1pt] {1/sqrt(2*pi) *
|
||||||
|
exp(-x^2/2)};
|
||||||
|
\end{axis}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{axis}[
|
||||||
|
anchor=north west,
|
||||||
|
at=(main axis.north east),
|
||||||
|
width=2cm,
|
||||||
|
ticks=none,
|
||||||
|
xlabel={$f_Y(y)$},
|
||||||
|
samples=50,
|
||||||
|
domain=-3:3,
|
||||||
|
ymin=-3,ymax=3,
|
||||||
|
]
|
||||||
|
\addplot[line width=1pt] ( {1/sqrt(2*pi)
|
||||||
|
* exp(-x^2/2)}, {x} );
|
||||||
|
\end{axis}
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{subfigure}%
|
||||||
|
\begin{subfigure}{0.32\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[
|
||||||
|
/pgfplots/scale only axis,
|
||||||
|
/pgfplots/width=3.5cm,
|
||||||
|
/pgfplots/height=3.5cm
|
||||||
|
]
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{axis}[
|
||||||
|
name=main axis,
|
||||||
|
view={0}{90},
|
||||||
|
ticks=none,
|
||||||
|
xlabel={$x$},ylabel={$y$},
|
||||||
|
]
|
||||||
|
\addplot3[
|
||||||
|
surf, shader=interp,
|
||||||
|
samples=40,
|
||||||
|
domain=-3:3, y domain=-3:3
|
||||||
|
]
|
||||||
|
{1/(2*pi) * exp(-1/2 * (x^2 + y^2) )};
|
||||||
|
\end{axis}
|
||||||
|
|
||||||
|
\node[below] at
|
||||||
|
($(main axis.south west) + (-.5, -.5)$)
|
||||||
|
{$f_{X,Y}(x,y)$};
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{axis}[
|
||||||
|
anchor=south west,
|
||||||
|
at=(main axis.north west),
|
||||||
|
height=2cm,
|
||||||
|
ticks=none,
|
||||||
|
ylabel={$f_X(x)$},
|
||||||
|
samples=50,
|
||||||
|
domain=-3:3,
|
||||||
|
xmin=-3,xmax=3,
|
||||||
|
]
|
||||||
|
\addplot[line width=1pt] {1/sqrt(2*pi) *
|
||||||
|
exp(-x^2/2)};
|
||||||
|
\end{axis}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{axis}[
|
||||||
|
anchor=north west,
|
||||||
|
at=(main axis.north east),
|
||||||
|
width=2cm,
|
||||||
|
ticks=none,
|
||||||
|
xlabel={$f_Y(y)$},
|
||||||
|
samples=50,
|
||||||
|
domain=-3:3,
|
||||||
|
ymin=-3,ymax=3,
|
||||||
|
]
|
||||||
|
\addplot[line width=1pt] ( {1/sqrt(2*pi)
|
||||||
|
* exp(-x^2/2)}, {x} );
|
||||||
|
\end{axis}
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{subfigure}%
|
||||||
|
\begin{subfigure}{0.32\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[
|
||||||
|
/pgfplots/scale only axis,
|
||||||
|
/pgfplots/width=3.5cm,
|
||||||
|
/pgfplots/height=3.5cm
|
||||||
|
]
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{axis}[
|
||||||
|
name=main axis,
|
||||||
|
view={0}{90},
|
||||||
|
ticks=none,
|
||||||
|
xlabel={$x$},ylabel={$y$},
|
||||||
|
]
|
||||||
|
\addplot3[
|
||||||
|
surf, shader=interp,
|
||||||
|
samples=40,
|
||||||
|
domain=-3:3, y domain=-3:3
|
||||||
|
]
|
||||||
|
{1/(2*pi*sqrt(0.5)) * exp(-1/(2*(1 -
|
||||||
|
sqrt(0.5))) * (x^2 +2*sqrt(0.5)*x*y + y^2) )};
|
||||||
|
\end{axis}
|
||||||
|
|
||||||
|
\node[below] at
|
||||||
|
($(main axis.south west) + (-.5, -.5)$)
|
||||||
|
{$f_{X,Y}(x,y)$};
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{axis}[
|
||||||
|
anchor=south west,
|
||||||
|
at=(main axis.north west),
|
||||||
|
height=2cm,
|
||||||
|
ticks=none,
|
||||||
|
ylabel={$f_X(x)$},
|
||||||
|
samples=50,
|
||||||
|
domain=-3:3,
|
||||||
|
xmin=-3,xmax=3,
|
||||||
|
]
|
||||||
|
\addplot[line width=1pt] {1/sqrt(2*pi) *
|
||||||
|
exp(-x^2/2)};
|
||||||
|
\end{axis}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{axis}[
|
||||||
|
anchor=north west,
|
||||||
|
at=(main axis.north east),
|
||||||
|
width=2cm,
|
||||||
|
ticks=none,
|
||||||
|
xlabel={$f_Y(y)$},
|
||||||
|
samples=50,
|
||||||
|
domain=-3:3,
|
||||||
|
ymin=-3,ymax=3,
|
||||||
|
]
|
||||||
|
\addplot[line width=1pt] ( {1/sqrt(2*pi)
|
||||||
|
* exp(-x^2/2)}, {x} );
|
||||||
|
\end{axis}
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{subfigure}
|
||||||
|
\end{figure}
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{frame}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{frame}
|
\begin{frame}
|
||||||
\frametitle{Zusammenfassung}
|
\frametitle{Zusammenfassung}
|
||||||
|
|
||||||
\vspace*{-10mm}
|
\vspace*{-20mm}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{columns}[t]
|
\begin{columns}[t]
|
||||||
\column{\kittwocolumns}
|
\column{\kittwocolumns}
|
||||||
@ -421,7 +666,7 @@
|
|||||||
\begin{greenblock}{Kovarianz}
|
\begin{greenblock}{Kovarianz}
|
||||||
\vspace*{-6mm}
|
\vspace*{-6mm}
|
||||||
\begin{gather*}
|
\begin{gather*}
|
||||||
\text{cov}(X,Y) = E(X\cdot Y) - E(X)E(Y)
|
\text{cov}(X,Y) = E(X Y) - E(X)E(Y)
|
||||||
\end{gather*}
|
\end{gather*}
|
||||||
\end{greenblock}
|
\end{greenblock}
|
||||||
\begin{greenblock}{Randdichte}
|
\begin{greenblock}{Randdichte}
|
||||||
@ -595,50 +840,50 @@
|
|||||||
\begin{figure}[H]
|
\begin{figure}[H]
|
||||||
\centering
|
\centering
|
||||||
|
|
||||||
% \begin{tikzpicture}
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
% \begin{axis}[
|
\begin{axis}[
|
||||||
% view={20}{30},
|
view={20}{30},
|
||||||
% xlabel=$x$, ylabel=$y$, zlabel={$f_{X,Y}(x,y)$},
|
xlabel=$x$, ylabel=$y$, zlabel={$f_{X,Y}(x,y)$},
|
||||||
% xmin=0, xmax=1, ymin=0, ymax=1, zmin=0, zmax=2,
|
xmin=0, xmax=1, ymin=0, ymax=1, zmin=0, zmax=2,
|
||||||
% xtick={0,0.5,1},ytick={0,0.5,1},ztick={0,1,2},
|
xtick={0,0.5,1},ytick={0,0.5,1},ztick={0,1,2},
|
||||||
% point meta min=0, point meta max=2,
|
point meta min=0, point meta max=2,
|
||||||
% declare function={cutoff(\x) = 0.3/\x;},
|
declare function={cutoff(\x) = 0.3/\x;},
|
||||||
% legend,
|
legend,
|
||||||
% ]
|
]
|
||||||
% \addplot3[
|
\addplot3[
|
||||||
% surf, shader=interp,
|
surf, shader=interp,
|
||||||
% samples=40,
|
samples=40,
|
||||||
% domain=0:1, y domain=0:1
|
domain=0:1, y domain=0:1
|
||||||
% ] (
|
] (
|
||||||
% x,
|
x,
|
||||||
% {y * min(1, cutoff(x))},
|
{y * min(1, cutoff(x))},
|
||||||
% {x + (y * min(1, cutoff(x)))}
|
{x + (y * min(1, cutoff(x)))}
|
||||||
% );
|
);
|
||||||
% \addlegendentry{$x\cdot y \le z$}
|
\addlegendentry{$x\cdot y \le z$}
|
||||||
%
|
|
||||||
% \addplot3[
|
\addplot3[
|
||||||
% surf, shader=interp,
|
surf, shader=interp,
|
||||||
% samples=40,
|
samples=40,
|
||||||
% domain=0.3:1, y domain=0:1,
|
domain=0.3:1, y domain=0:1,
|
||||||
% fill=gray,
|
fill=gray,
|
||||||
% draw=none,
|
draw=none,
|
||||||
% point meta=1.1,
|
point meta=1.1,
|
||||||
% colormap name=cividis,
|
colormap name=cividis,
|
||||||
% ] (
|
] (
|
||||||
% x,
|
x,
|
||||||
% {cutoff(x) + y*(1 - cutoff(x))},
|
{cutoff(x) + y*(1 - cutoff(x))},
|
||||||
% {x + (cutoff(x) + y*(1 - cutoff(x)))}
|
{x + (cutoff(x) + y*(1 - cutoff(x)))}
|
||||||
% );
|
);
|
||||||
%
|
|
||||||
% \addplot3[
|
\addplot3[
|
||||||
% mesh,
|
mesh,
|
||||||
% samples=15,
|
samples=15,
|
||||||
% domain=0:1, y domain=0:1,
|
domain=0:1, y domain=0:1,
|
||||||
% draw=black,
|
draw=black,
|
||||||
% opacity=0.3
|
opacity=0.3
|
||||||
% ] {x + y};
|
] {x + y};
|
||||||
% \end{axis}
|
\end{axis}
|
||||||
% \end{tikzpicture}
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
\end{figure}
|
\end{figure}
|
||||||
\end{minipage}%
|
\end{minipage}%
|
||||||
\begin{minipage}{0.58\textwidth}
|
\begin{minipage}{0.58\textwidth}
|
||||||
|
|||||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user