Add first version of solution for exercise 2a

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@@ -64,7 +64,6 @@
 \newlength{\depthofsumsign}
 \setlength{\depthofsumsign}{\depthof{$\sum$}}
 \newlength{\totalheightofsumsign}
-\newlength{\heightanddepthofargument}
 \newcommand{\nsum}[1][1.4]{
     \mathop{
         \raisebox
@@ -222,12 +221,13 @@
         \item Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten $\rho_{XY}$ .
     \end{enumerate}
     % tex-fmt: on
-
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
     \frametitle{Aufgabe 2: Transformationssatz für 2D-Dichten}
 
+    \vspace*{-15mm}
+
     Die Zufallsvariable $(X; Y)^T$ habe die gemeinsame
     Wahrscheinlichkeitsdichte $f (x, y) = x + y$ für
     $x, y \in (0; 1]$ und null sonst.
@@ -236,12 +236,53 @@
     \begin{enumerate}[a{)}]
         \item Berechnen Sie die Dichte von $(Z = X \cdot Y)$ mithilfe des
             Transformationssatzes.
-            \pause\begin{align*}
+            \pause\begin{gather*}
-                f(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dy
+                \left.
-                    = x + 0{,}5 \\
+                \begin{array}{l}
-                f(y) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx
+                    U := X \\
-                    = y + 0{,}5
+                    V := Z = X \cdot Y
+                \end{array}
+                \right\}
+                \Rightarrow
+                \left\{
+                \begin{array}{l}
+                    X = h_1(U,V) = U \\
+                    Y = h_2(U,V) = \frac{V}{U}
+                \end{array}
+                \right. \\[4mm]
+                \mathcal{J} = \begin{pmatrix}
+                    \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}  \\[2mm]
+                    \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
+                \end{pmatrix}
+                 = \begin{pmatrix}
+                     1 & 0 \\
+                     - \frac{v}{u^2} & \frac{1}{u}
+                \end{pmatrix}
+            \end{gather*}
+            \vspace{3mm}
+            \begin{align*}
+                f_{U,V}(u,v) = \lvert \text{det}(\mathcal{J}) \rvert \cdot f_{X,Y} \big(h_1(u,v),h_2(u,v)\big)
+                             = \left\{ \begin{array}{ll}
+                                    \frac{1}{u} \cdot \left(u + \frac{v}{u}\right) &,\hspace{2mm} 0 < v \le u \le 1 \\
+                                    0 &,\hspace{2mm} \text{sonst}
+                                \end{array} \right.
+                             = \left\{ \begin{array}{ll}
+                                    1 + \frac{v}{u^2} &,\hspace{2mm} 0 < v \le u \le 1 \\
+                                    0 &,\hspace{2mm} \text{sonst}
+                                \end{array} \right.
             \end{align*}
+            \vspace{3mm}
+            \begin{gather*}
+                \text{Für } 0 < v \le 1: \hspace{5mm} f_V(v)
+                    = \int_{-\infty}^{\infty} f_{U,V}(u,v) du
+                    = \int_{v}^{1} 1 + \frac{v}{u^2} dx
+                    = \left[ u - \frac{v}{u} \right]_v^1
+                    = 2(1-v) \\[3mm]
+                    f_Z(z) = \left\{\begin{array}{ll}
+                        2(1-z) \hspace{3mm}&,\hspace{3mm} 0 < z \le 1 \\
+                        0 \hspace{3mm}&,\hspace{3mm} \text{sonst}\\
+                    \end{array}\right.
+            \end{gather*}
         \pause \item Verwenden Sie einen alternativen Ansatz zur Berechnung der
             Dichte. Hinweis: Beginnen Sie mit $P (Z \le z) = \ldots$
             \pause\begin{align*}
@@ -251,7 +292,6 @@
             \end{align*}
     \end{enumerate}
     % tex-fmt: on
-
 \end{frame}
 
 \end{document}